18. Esponenziale e logaritmo

In questo capitolo si presentano le funzioni a variabile reale, \(f(x): D \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\):

• esponenziale, \(f(x) = a^x\)

• logaritmo, \(f(x) = \log_a x\)

e successivamente le funzioni iperboliche.

18.1. Funzione esponenziale e logaritmo di variabile reale

18.1.1. Funzione esponenziale, \(a^x\)

Nell’ambito dei numeri reali, l’elevamento alla potenza reale \(x \in \mathbb{R}\) di un numero reale \(a \in \mathbb{R}\),

\[a^x\]

è un’operazione ben definita per ogni valore dell’esponente \(x\) solo per base \(a \geq 0\). Per ogni valore di \(a \geq 0\) si può definire quindi la funzione esponenziale con base \(a\)

\[f(x) = a^x \ ,\]

che è definita per \(x \in \mathbb{R}\) e ha immagine \((0, +\infty)\).

Proprietà.

• la funzione è monotona:

  • se \(a > 1\), la funzione è monotona crescente

  • se \(a = 1\), la funzione è costante e uguale a \(1\)

  • se \(a < 1\), la funzione è monotona decrescente

• la funzione è continua, come si vedrà nel capitolo sull”introduzione all’analisi

Tra tutte le basi, la funzione esponenziale con base \(e\) di Eulero (o di Nepero) svolge un ruolo fondamentale in matematica e nelle scienze in generale, sia nell’ambito dei numeri reali sia nell’ambito dei numeri complessi, come ci sarà l’occasione di iniziare ad apprezzare nelle parti sul:

• calcolo: limiti, derivate, integrali, equazioni differenziali

• numeri complessi

Vale dunque la pena introdurre la funzione esponenziale \(e^x\), e discuterne alcune definizioni equivalenti e proprietà fondamentali che permettono di comprendere l’origine della centralità di questa funzione in (quasi) tutti gli ambiti della matematica e delle scienze.

In questo capitolo ci si concentra sulla funzione esponenziale sul campo dei numeri reali, mentre si rimanda al capitolo sui numeri complessi per la definizione dell’esponenziale complesso, e al capitolo sulle equazioni differenziali ordinarie per le prime applicazioni fondamentali dell’esponenziale, con esponenti reali o complessi.

18.1.2. Funzione esponenziale, \(e^x\)

Definizione. Per ogni \(x \in \mathbb{R}\), è possibile dare diverse definizioni equivalenti della funzione esponenziale \(f(x) = e^x\), che può:

1. essere intesa come l’elevamento a potenza della \(e\) di Eulero con la variabile indipendente \(x\) come esponente. Questa definizione «agnostica» considera \(e\) un numero con un determinato valore, approssimato \(2.718281828\text{e poi la magia finisce}\), tale da soddisfare le proprietà che si incontreranno nel percorso; queste proprietà sono diretta conseguenza e possono essere dimostrate grazie alle altre due definizioni equivalenti:

2. essere definita come limite della successione di funzioni \(\left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n\)

\[ e^x := \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{x}{n}\right)^n \]

3. essere definita come limite della serie di funzioni con elementi \(\frac{x^n}{n!}\),

\[\begin{split} e^x := \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{x^n}{n!} \\ \end{split}\]

Si può dimostrare che (seguire i link per le dimostrazioni in appendice):

• la serie è convergente per ogni \(x \in \mathbb{R}\) finito

• le due definizioni sono equivalenti

• le definizioni della funzione \(e^x\) giustificano la notazione \(e^x\) questa funznione poiché soddisfa le proprietà delle potenze (con stessa base, \(e\)):

  \[\begin{split}\begin{aligned} e^0 & = 1 \\ e^1 & = e \\ e^{x+y} & = e^x \, e^y \ . \end{aligned}\end{split}\]

  Una conseguenza indiretta è l’equivalenza della definizione «agnostica» 1. e delle altre due.

Tra le conseguenze principali di questa definizione

• la derivata della funzione \(e^x\) è \(e^x\), ed è una delle derivate fondamentali del calcolo differenziale,

  \[\frac{d}{dx} e^x = e^x \ .\]

• l’integrale della funzione \(e^x\) è la stessa funzione

  \[\int e^x \, dx = e^x + C \ ,\]

  all’origine della battuta che non fa ridere (!) che spiega la tristezza della funzione \(e^x\) alla festa delle funzioni, con il fatto che la funzione \(e^x\) non si integra.

18.1.3. Funzione logaritmo naturale, \(\text{ln} \, x\)

Definizione. Poiché la base \(e > 1\), la funzione \(e^x\) è monotona crescente, \(e^x: \mathbb{R} \rightarrow (0, +\infty)\), e quindi esiste la sua funzione inversa con dominio \((0,+\infty)\) e immagine \(\mathbb{R}\). La funzione inversa della funzione esponenziale con base \(e\) viene definita logaritmo naturale, \(\ln x\). Cioè

\[x = e^y \qquad \leftrightarrow \qquad y = \ln x\]

o altrimenti, la definizione di logaritmo \(\ln ( e^x ) = x\), può essere reinterpretata come, \(f^{-1} \circ f(x) = x \), con

\[f(x) = e^x \qquad \rightarrow \qquad f^{-1}(x) = \ln x \ .\]

18.1.4. Funzioni iperboliche

Vengono definite le funzioni iperboliche

(18.1)\[\begin{split}\begin{aligned} \cosh x & := \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ \sinh x & := \frac{e^x - e^{-x}}{2} \ \end{aligned}\end{split}\]

Proprietà. Simmetria:

(18.2)\[\cosh(-x) = \cosh(x) \qquad , \qquad \sinh(-x) = - \sinh(x) \ .\]

Le funzioni iperboliche hanno regole analoghe - ma non identiche - alle funzioni trigonometriche, dimostrabili grazie alle proprietà delle potenze

Relazione fondamentale.

(18.3)\[\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\]

Dimostrazione

Valutando la differenza tra i quadrati della definizione (18.1) delle funzioni iperboliche,

\[\begin{split}\begin{aligned} \cosh^2 x & = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \left( e^{2x} + 2 + e^{-2x} \right) \\ \sinh^2 x & = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \left( e^{2x} - 2 + e^{-2x} \right) \\ \end{aligned}\end{split}\]

risulta dimostrata dimostrata la relazione fondamentale (18.3)

\[\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{1}{4} \left( e^{2x} + 2 + e^{-2x} \right) - \frac{1}{4} \left( e^{2x} - 2 + e^{-2x} \right) = 1 \ .\]

Somma e sottrazione.

(18.4)\[\begin{split}\begin{aligned} \cosh(x \mp y) & = \cosh x \cosh y \mp \sinh x \sinh y \\ \sinh(x \mp y) & = \sinh x \cosh y \mp \cosh x \sinh y \end{aligned}\end{split}\]

Dimostrazione

Viene qui dimostrata la formula \(\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y\). La formula per la sottrazione segue immediatamente dalle proprietà di simmetria (18.2) delle funzioni iperboliche, definendo \(z = -y\). La dimostrazione delle formule del seno iperbolico di somme e differenze segue gli stessi passaggi e viene lasciata come esercizio.

Valutando i prodotti,

\[\begin{split}\begin{aligned} \cosh x \, \cosh y & = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \frac{e^y + e^{-y}}{2} = \frac{e^{x+y} + e^{x-y} + e^{-x+y} + e^{-x-y}}{4} \\ \sinh x \, \sinh y & = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \frac{e^{x+y} - e^{x-y} - e^{-x+y} + e^{-x-y}}{4} \\ \end{aligned}\end{split}\]

e sommando

\[\cosh x \, \cosh y + \sinh x \sinh y = \frac{e^{x+y} + e^{-(x+y)}}{2} = \cosh(x+y) \ .\]

«Werner». Dalle formule del coseno e del seno iperbolico di somme e differenze, si possono derivare facilmente le formule analoghe alle formule di Werner per le funzioni trigonometriche

\[\begin{split}\begin{aligned} \cosh x \, \cosh y & = \frac{1}{2} \left( \cosh(x+y) + \cosh(x-y) \right) \\ \sinh x \, \sinh y & = \frac{1}{2} \left( \cosh(x+y) - \cosh(x-y) \right) \\ \sinh x \, \cosh y & = \frac{1}{2} \left( \sinh(x+y) + \sinh(x-y) \right) \\ \end{aligned}\end{split}\]

«Prostaferesi».

\[\begin{split}\begin{aligned} \cosh p + \cosh q & = 2 \cosh \left( \frac{p+q}{2} \right) \cosh \left( \frac{p-q}{2} \right) \\ \cosh p - \cosh q & = 2 \sinh \left( \frac{p+q}{2} \right) \sinh \left( \frac{p-q}{2} \right) \\ \sinh p + \sinh q & = 2 \sinh \left( \frac{p+q}{2} \right) \cosh \left( \frac{p-q}{2} \right) \\ \end{aligned}\end{split}\]