14. Introduzione al pre-calcolo#
Nel gran calderone del pre-calcolo finiscono qui tutti gli argomenti propedeutici allo studio del calcolo, seguendo quanto fatto da Eulero - ovviamente come Eulero, ma peggio - nel 1748 nel suo «Introductio in analysin infinitorum» [1, 2], pensato come una raccolta di concetti e metodi di analisi e geometria analitica in preparazione al calcolo differenziale e integrale.
Leonhard Euler (1707-1783)
Eulero bla bla
Senza fare uso di nessun concetto di calcolo differenziale o integrale, nel primo volume dell’opera Eulero fornisce alcuni fondamenti dell’analisi e delle serie infinite; nel secondo volume Eulero applica i risultati del primo volume allo studio delle curve e delle superfici nel piano e nello spazio.
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Argomenti del capitolo
Funzioni reali a variabile reale, \(f: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) (Introductio vol.1 cap.1-3)*. Riprendendo la definizione di funzione, vengono definite le funzioni reali a valore reale \(f: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) che saranno oggetto di studio del calcolo. Il grafico di una funzione in un piano cartesiano viene usato per mostrare alcune caratteristiche che può avere una funzione (crescente/decrescente, pari/dispari,…). Infine viene discussa l”invertibilità di funzioni.
Successioni e serie infinite (Introductio vol.1 cap.4). Vengono presentati alcuni risultati di convergenza sulle successioni e le serie infinite. Questi risultati sono utili nella formulazione dei fondamenti dell’analisi (saranno trattati qui? Probabilmente no), nella definizione della funzione esponenziale, e in matematica discreta (come ad esempio nei metodi numerici).
Funzioni esponenziale con base \(e\) e logaritmo naturale (Introductio vol.1 cap.6-7). Viene introdotta la funzione esponenziale \(e^x\). che ricopre un ruolo fondamentale nel calcolo, come apprezzabile nei capitoli su derivate, integrali e equazioni differenziali. Viene introdotta anche la sua funzione inversa \(\ln x\), definita come il logaritmo con base \(e\).
Funzioni trigonometriche (Introductio vol.1 cap.8). Vengono introdotte le funzioni trigonometriche, partendo dalla geometria di una circonferenza, dove l’argomento di tali funzioni sono angoli. Viene presentata la relazione fondamentale della trigonometria e le regole per la somma e la differenza, e regole ricavate da queste.
Fattorizzazione di polinomi (Introduction vol. XXX cap. todo ). Vengono collezionati alcuni risultati utili sui polinomi che possono essere utili in seguito, come ad esempio il teorema fondamentale dell’algebra per la fattorizzazione dei polinomi, e il teorema binomiale per le potenze di binomi.
Funzioni a più variabili (Introductio vol.1 cap.5). todo
Algebra sui numeri complessi (Introduction vol. XXX cap. todo ).