18.4. Note e dimostrazioni#

18.4.1. Funzione esponenziale#

18.4.1.1. Convergenza della serie di funzioni \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) in ogni intervallo limitato#

Convergenza della serie di funzioni \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) in ogni intervallo limitato

Per dimostrare la convergenza uniforme di \(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\) a \(e^x\) in ogni intervallo limitato \(|x| < M\), è richiesto di dimostrare che per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(N \in \mathbb{N}\) tale che

\[|e^x - S_n(x)| < \varepsilon \ , \qquad \forall |x| < M \]

per tutti gli \(n > N\). Bisogna quindi dimostrare che

\[\left| \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \right| < \varepsilon \ .\]

Definendo \(\tilde{M} = \max\{ 1, M \}\)

\[\left| \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \right| < \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{\tilde{M}^k}{k!}\]

e scegliendo \(k > 2 \tilde{M}\), in maniera da poter scrivere

\[\frac{\tilde{M}^k}{k!} = \frac{\tilde{M}^{2 \tilde{M}}}{( 2 \tilde{M})!} \frac{\tilde{M}}{2\tilde{M}+1} \dots \frac{\tilde{M}}{k} < \frac{\tilde{M}^{2 \tilde{M}}}{( 2 \tilde{M})!} 2^{-(k - \tilde{M})} = \frac{(2 \tilde{M})^{2 \tilde{M}}}{(2 \tilde{M})!} 2^{-k}\]

e quindi

\[\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{\tilde{M}}{k!} < \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{(2 \tilde{M})^{2 \tilde{M}}}{(2\tilde{M})!} 2^{-k} = \frac{(2 \tilde{M})^{2 \tilde{M}}}{(2\tilde{M})!} 2^{-n}\]

avendo usato \(\sum_{k=n+1}^{\infty} 2^{-k} = 2^{-n-1} \sum_{k=0}^{\infty} 2^{-k} = 2^{-n-1} \cdot 2 = 2^{-n}\).

Scegliendo \(N > \log_2 \left( \frac{1}{\varepsilon} \frac{(2\tilde{M})^{2 \tilde{M}}}{(2 \tilde{M})!)} \right)\), per ogni \(n > N\) si ha

\[\left| \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \right| < \frac{(2 \tilde{M})^{2 \tilde{M}}}{(2\tilde{M})!} 2^{-n} < \frac{(2 \tilde{M})^{2 \tilde{M}}}{(2\tilde{M})!} 2^{-N} < \varepsilon \ .\]

18.4.1.2. Equivalenza delle due definizioni#

Equivalenza delle due definizioni

todo

18.4.1.3. Giustificazione della notazione \(\ e^x\)#

Giustificazione della notazione \(\ e^x\)

Per evitare la forma indeterminata nel termine \(0^0\), si calcola qui il limite per \(x \rightarrow 0\) (todo motivare la validità di questa operazione/interpretazione della funzione \(e^x\))

\[e^0 := \lim_{x \rightarrow 0} e^x = \lim_{x \rightarrow 0} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \lim_{x \rightarrow 0} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 \ .\]

Ricordando la definizione della \(e\) di Eulero, è immediato verificare che il valore della serie di funzioni per \(x = 1\) coincide con il valore di \(e\)

\[e^1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \bigg|_{x=1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e \ .\]

La serie che definisce la esponenziale soddisfa la proprietà delle potenze \(e^x \, e^y = e^{x+y}\),

\[\begin{split}\begin{aligned} e^x \, e^y & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{y^m}{m!} = \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{y^m}{m!} \frac{x^n}{n!} = & \text{($m,n \ \rightarrow \ m,p=m+n$)}\\ & = \sum_{p=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{p} \frac{y^m \, x^{p-m}}{m! (p-m!)} = \\ & = \sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{p!} \underbrace{\sum_{m=0}^{p} \frac{p!}{m! (p-m)!} y^m \, x^{p-m}}_{(x+y)^p} = \\ & = \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(x+y)^p}{p!} = \\ & = e^{x+y} \ , \end{aligned}\end{split}\]

avendo usato il teorema binomiale.

18.4.2. Funzioni iperboliche#

Relazione fondamentale
\[\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\]

infatti

\[\begin{split}\begin{aligned} \cosh^2 x - \sinh^2 x & = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = \\ & = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x} - \left( e^{2x} - 2 + e^{-2x}\right)}{4} = 1 \\ \end{aligned}\end{split}\]
Prodotti
\[\cosh x \cosh y = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \frac{e^y+e^{-y}}{2} = \frac{e^{x+y} + e^{x-y} + e^{-x+y} + e^{-x-y}}{4}\]
\[\sinh x \sinh y = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \frac{e^y-e^{-y}}{2} = \frac{e^{x+y} - e^{x-y} - e^{-x+y} + e^{-x-y}}{4}\]
\[\sinh x \cosh y = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \frac{e^y+e^{-y}}{2} = \frac{e^{x+y} + e^{x-y} - e^{-x+y} - e^{-x-y}}{4}\]
Somma e differenza
\[\begin{split}\begin{aligned} \cosh(x+y) & = \frac{e^{x+y} + e^{-x-y}}{2} = \\ & = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \end{aligned}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{aligned} \cosh(x-y) & = \frac{e^{x-y} + e^{-x+y}}{2} = \\ & = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \end{aligned}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{aligned} \sinh(x+y) & = \frac{e^{x+y} - e^{-x-y}}{2} = \\ & = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \end{aligned}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{aligned} \sinh(x-y) & = \frac{e^{x-y} - e^{-x+y}}{2} = \\ & = \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \end{aligned}\end{split}\]
…