27.2. Derivate di funzioni di più variabili

27.2.1. Derivate parziali

Definition 27.2 (Derivata parziale)

Data una funzione di più variabili \((x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\), la derivata parziale rispetto alla variabile \(x_1\), se esiste, è la derivata della funzione calcolata tenendo costanti tutte le altre variabili,

\[\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, x_2, \dots, x_n) := \lim_{h_1 \rightarrow 0} \frac{f(x_1+h_1, x_2, \dots, x_n) - f(x_1, x_2, \dots, x_n)}{h_1}\]

La definizione analoga vale per la derivata parziale rispetto a qualsiasi altra variabile indipendente.

Ricordando il significato di infinitesimo \(o(h_1)\), \(\lim_{h_1 \rightarrow 0} \frac{o(h_1)}{h_1} = 0\), dovrebbe essere semplice convincersi che la definizione di derivata parziale rispetto a \(x_1\) implica

(27.1)\[ f(x_1+h_1, \dots, x_n) - f(x_1, \dots, x_n) = h_1 \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, \dots, x_n) + o(h_1) \ . \]

Example 27.1 (Verifica dell’incremento della funzione dovuto all’incremento di una variabile)

Verificare la validità dell’espressione (27.1), inserendola nella definizione di derivata parziale e calcolando il limite.

Soluzione

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{h_1 \rightarrow 0} \frac{f(x_1+h_1, x_2, \dots, x_n) - f(x_1, x_2, \dots, x_n)}{h_1} & = \lim_{h_1 \rightarrow 0} \frac{1}{h_1} \left[ h_1 \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, \dots, x_n) + o(h_1) \right] = \\ & = \lim_{h_1 \rightarrow 0} \left[ \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, \dots, x_n) + O(h_1) \right] = \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, \dots, x_n) \ . \end{aligned}\end{split}\]

27.2.2. Incremento di una funzione

Definition 27.3 (Incremento di una funzione)

Dati gli incrementi \(h_i\) delle variabili indipendenti \(x_i\), l’incremento della funzione partendo dalla \(n\)-pla \(\mathbb{x}\) dopo l’incremento delle variabili è

\[\Delta f(\mathbf{x}, \mathbf{h}) := f(\mathbf{x} + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}) \ .\]

27.2.3. Differenziale

Definition 27.4 (Differenziale)

Il differenziale \(d f\) di una funzione di più variabili a valore reale in corrispondenza della \(n\)-pla \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)\) e dell’incremento delle variabili indipendenti \(\mathbf{h} = (h_1, h_2, \dots, h_n)\) può essere definito come

\[d f (\mathbf{x}, \mathbf{h}) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}) \, h_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{x}) \, h_2 + \dots \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \, h_n \ . \]

Il differenziale di una funzione rappresenta al primo ordine l’incremento della funzione rispetto all’incremento delle variabili indipendenti,

\[ \Delta f(\mathbf{x}, \mathbf{h}) = df(\mathbf{x}, \mathbf{h}) + o(||\mathbf{h}||)\ .\]

Example 27.2 (Differenziale per una funzione di due variabili, \(\ f(x_1, x_2) \))

Verificare la relazione tra incremento e differenziale per una funzione di due variabili.

Soluzione

Usando la relazione (27.1) si può scrivere

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) & = f(x_1 + h_1, x_2 ) + h_2 \, \partial_{2} f(x_1 + h_1, x_2) + o(h_2) = \\ & = f(x_1, x_2) + h_1 \, \partial_{1} f(x_1, x_2) + o(h_1) \\ & \ \ + h_2 \left[ \partial_{2} f(x_1, x_2) + h_1 \, \partial_{1}\partial_{2} f(x_1, x_2) + o (h_1) \right] + o(h_2) = \\ & = f(x_1, x_2) + h_1 \, \partial_{1} f(x_1, x_2) + h_2 \, \partial_{2} f(x_1, x_2) + o(h_1) + o(h_2) + o(h_1 \, h_2) \end{aligned}\end{split}\]

Scegliendo una norma per l’incremento \(\mathbf{h}\), si può scrivere (todo sempre? Per ogni norma?)

\[ f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) = f(x_1, x_2) + h_1 \, \partial_{1} f(x_1, x_2) + h_2 \, \partial_{2} f(x_1, x_2) + o(||\mathbf{h}||) \]

e quindi ottenere la relazione desiderata

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta f(\mathbf{x}, \mathbf{h}) & = f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) - f(x_1, x_2) = \\ & = h_1 \, \partial_{1} f(x_1, x_2) + h_2 \, \partial_{2} f(x_1, x_2) + o(||\mathbf{h}||) = \\ & = d f(\mathbf{x}, \mathbf{h}) + o(||\mathbf{h}||) \ . \end{aligned}\end{split}\]

Nota

Norma infinito La norma infinito di una \(n\)-pla apprtenente a \(\mathbb{R}^n\) è definita come il valore assoluto del valore massimo

\[||\mathbf{h}||_{\infty} = \max_i |h_i| \ .\]

Nota

Norma-2 La norma-2 di una \(n\)-pla appartenente a \(\mathbb{R}^n\) è definita come la radice della somma dei quadrati delle componenti

\[||\mathbf{h}||_{2} = \sqrt{h_1^2 + \dots h_n^2} \ .\]