21.12. Note e dimostrazioni

21.12.1. Formula di de Moivre

Qui si dimostra la formula di de Moivre (21.1).

\[(\cos x + i \sin x)^n = \cos(nx) + i \sin(nx) \ , \quad n \in \mathbb{Z}\]

Dimostrazione per induzione

Per \(n \in \mathbb{N}\), si procede per induzione todo aggiungere i capitoli sulla logica? E un riferimento ad essi? Per \(n = 1\) la formula di de Moivre si riduce a un’identità. Supponiamo quindi che sia valida per un intero \(n > 1\) e verifichiamo se questo implica che sia valida anche per \(n+1\)

\[\begin{split}\begin{aligned} (\cos x + i \sin x)^{n+1} & = (\cos x + i \sin x)^n \, (\cos x + i \sin x) = \\ & = \left(\cos (nx)+ i \sin (nx) \right) \, (\cos x + i \sin x) = \\ & = \cos(nx) \cos x - \sin(nx) \sin x + i \left( \cos(nx) \sin x + \sin(nx) \cos x \right) = \\ & = \cos( (n+1)x ) + i \sin( (n+1) x ) \ . \end{aligned}\end{split}\]

Per \(n = 0\), la formula di de Moivre si riduce all’identità \(1 \equiv 1\).

Per \(m := -n \in \mathbb{N}\), la formula di de Moivre può essere verificata usando la formula di de Moivre per \(m > 0\) e razionalizzando la frazione,

\[\begin{split}\begin{aligned} \left( \cos x + i \sin x \right)^{n} & = \frac{1}{\left( \cos x + i \sin x \right)^m} = \\ & = \frac{1}{\left( \cos (m x) + i \sin (m x) \right)} = \\ & = \frac{\cos( m x) - i \sin (m x)}{\underbrace{\cos^2(mx) + \sin^2(mx)}_{=1}} = \cos(mx) - i \sin(mx) = \cos(nx) + i \sin(nx) \ . \end{aligned}\end{split}\]

21.12.2. Esponenziale complesso

Estendendo la definizione di funzione esponenziale \(e^x\) ai numeri complessi, si può scrivere

(21.6)\[e^z = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left( 1 + \frac{z}{n} \right)^n\]

21.12.3. Formula di Eulero

Per esponenti reali, vale

\[e^{i x} = \cos x + i \sin x\]

Dimostrazione usando la definizione come limite della successione

L’esponenziale complesso può essere scritto come limite della successione con termini,

\[a_n = \left( 1 + \frac{z}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{x}{n} + i \frac{y}{n} \right)^n\]

per \(n \rightarrow +\infty\). Usando le trasformazioni tra la rappresentazione cartesiana e la rappresentazione polare

\[\begin{split}\begin{cases} \text{re}\{a_n\} = 1 + \frac{x}{n} = r_n \cos \theta_n \\ \text{im}\{a_n\} = \frac{y}{n} = r_n \sin \theta_n \end{cases}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{cases} r_n = \sqrt{ \left(\text{re}\{a_n\}\right)^2 + \left(\text{im}\{a_n\}\right)^2 } = \sqrt{\left(1+ \frac{x}{n}\right)^2 + \left(\frac{y}{n}\right)^2} \\ \tan \theta_n = \frac{\text{im}\{a_n\}}{\text{re}\{a_n\}} = \frac{\frac{y}{n}}{1 + \frac{x}{n}} = \frac{y}{x + n}_n \end{cases}\end{split}\]

e la formula di de Moivre,

\[( \cos x + i \sin x)^n = \cos( n x ) + i \sin ( n x )\]

si può scrivere il termine \(a_n\)

\[\begin{split}\begin{aligned} a_n & = \left( 1 + \frac{x}{n} + i \frac{y}{n} \right)^n = \\ & = \left( r_n \cos \theta_n + i r_n \sin \theta \right)^n = \\ & = r_n^n \cdot \left[ \cos ( n \theta_n ) + i \sin (n \theta_n) \right] \end{aligned}\end{split}\]

Per \(n \rightarrow \infty\), \(\tan \theta_n \rightarrow 0\) e quindi vale l’approssimazione asintotica \(\tan \theta_n \sim \theta_n\)

\[\theta_n \sim \tan \theta_n = \frac{y}{x+n} \sim \frac{y}{n}\]

\[n \theta_n \sim y\]

mentre è possibile studiare il limite del modulo, riscrivendolo come

\[\begin{split}\begin{aligned} r_n^n & = \left[ \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^2 + \left( \frac{y}{n} \right)^2 \right]^{\frac{n}{2}} = \\ & = \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{n} \left[ 1 + \left(\frac{y}{n+x}\right)^2 \right]^{\frac{n}{2}} = \\ \end{aligned}\end{split}\]

Il primo fattore è asintotico a \(e^x\),

\[\left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n \sim e^x \ .\]

Il secondo fattore, con il «completamento della definizione di esponenziale», può essere riscritto come

\[\left[ 1 + \left(\frac{y}{n+x}\right)^2 \right]^{\frac{n}{2}} = \left\{ \left[ 1 + \left(\frac{y}{n+x}\right)^2 \right]^{\left(\frac{n+x}{y}\right)^2} \right\}^{\frac{n y^2}{2(n+x)^2}} \sim e^0 = 1 \ .\]

Il termine \(r_n^n\) tende quindi a \(e^x\).

Il limite dei termini \(a_n\) della successione che definisce l’esponenziale complesso può quindi essere scritto come

\[\begin{split}\begin{aligned} e^z & = \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = \\ & = \lim_{n \rightarrow +\infty} r_n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)) = & (\lim_{n\rightarrow +\infty} r_n = e^x, \lim_{n \rightarrow + \infty} n \theta = y)\\ & = e^x \left( \cos y + i \sin y \right) \ . \end{aligned}\end{split}\]

Usando la proprietà delle potenze estesa ai numeri complessi,

\[e^x \left( \cos y + i \sin y \right) = e^z = e^{x + iy} = e^x \, e^{i y} \ , \]

dall’arbitrarietà del valore \(x\), risulta dimostrata la formula di Eulero,

\[e^{iy} = \cos y + i \sin y \ .\]

per esponenti reali \(y \in \mathbb{R}\).

Dimostrazione usando la definizione come serie

L’identità di Eulero può essere dimostrata (todo bisogna verificare la convergenza (uniforme) delle serie?) confrontando le serie polinomiali di Taylor delle funzioni \(\cos x\), \(\sin x\) definite sui numeri reali, \(x \in \mathbb{R}\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \\ \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \\ \end{aligned}\end{split}\]

con la serie che definisce l’esponenziale complesso,

\[\begin{split} e^z & = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^5}{5!} + \dots \\ \end{split}\]

valutata in \(z = i x \in \mathbb{C}\)

\[\begin{split}\begin{aligned} e^{i x} & = 1 + i x + \frac{(i x)^2}{2!} + \frac{(i x)^3}{3!} + \frac{(i x)^4}{4!} + \frac{(i x)^5}{5!} + \dots = \\ & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \dots + i \left[ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \right] = \\ & = \cos x + i \sin x \ . \end{aligned}\end{split}\]

21.12.4. Altre operazioni e funzioni a variabile complessa

21.12.4.1. Potenza

21.12.4.2. Esponenziale

21.12.4.3. Logaritmo