16. Serie e successioni

Avvertimento

Questa sezione - per ora in costruzione - rischia di essere una sezione hard-core e nella sua completezza rischia di andare ben oltre gli scopi di un corso di matematica a livello di scuola superiore e di molti corsi universitari, ad eccezione delle sole facoltà di matematica e fisica probabilmente.

Per questi motivi, a questo capitolo viene per ora riservata una priorità relativamente bassa nello svolgimento del lavoro.

Note sull’uso, o cosa bisogna portare a casa da questa sezione

Da questa sezione è utile portare a casa:

• la definizione di serie numerica, il concetto di concergenza - e i criteri di convergenza, con semplici applicazioni a serie particolari. Esistono poi alcune serie particolari - come la serie geometrica - …; il numero \(e\) di Eulero può essere definito come valore di una serie convergente.

• la definizione di [serie di funzioni. Alcuni esempi: definizione della funzione esponenziale \(e^x\), serie polinomiali di Taylor, serie di Fourier <span «style=color:red»>I risultati di convergenza, seppur di importanza non trascurabile, hanno una priorità secondaria nello sviluppo di questo materiale - bilancio complessità-impescindibilità

16.1. Successioni di numeri reali

Definizione. Una successione di numeri reali è una funzione \(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\), che associa ai numeri interi \(n \in \mathbb{N}\) un numero reale \(a_n = f(n)\).

Limite di una successione. Una successione \(\{ a_n \}\) ha limite \(\ell\) se per ogni intorno \(U_{\ell}\) di \(\ell\) esiste un numero naturale \(N \in \mathbb{N}\) tale che

\[a_n \in U_{\ell} \ , \qquad \forall n > N \ .\]

todo fare associazione con il limite finito all’infinito per funzioni

Se il limite esiste è unico (todo se \(\ell \in T\), con \(T\) spazio di Hasudorff. Come evitare questa complicazione?). A seconda del limite della successione, una successione è:

• convergente se il limite \(\ell\) esiste ed è finito

• divergente se il limite \(\ell\) esiste ed è infinito

• indeterminata se il limite non esiste

16.1.1. Proprietà

Limitatezza. …

Permanenza del segno. …

Valori assoluti. …

Succesioni monotone. Una successione monotona \(\{ a_n \}\) converge sempre a un limite. Il limite è l’estremo superiore se la successione è monotona crescente, o l’estremo inferiore se la successione è monotona decrescente.

Il limite è finito se e solo se la successione monotona è limitata.

Dimostrazione, qui o in fondo in una sezione di dimostrazioni/esercizi

16.1.2. Operazioni con successioni

elencare operazioni, mettere dimostrazione in una sezione di dimostrazioni/esercizi, nello stile Schaum

16.1.3. Confronto tra successioni

elencare operazioni, mettere dimostrazione in una sezione di dimostrazioni/esercizi, nello stile Schaum

16.1.4. Criteri di convergenza

elencare operazioni, mettere dimostrazione in una sezione di dimostrazioni/esercizi, nello stile Schaum

16.2. Serie di numeri reali

Definizione. Data una successione di elementi \(\{ a_n \}\), \(a_n \in \mathbb{R}\), la serie associata è la somma infinita

\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n \ .\]

Dato ogni indice \(k\) della successione \(\{ a_n \}\), si definisce la successione delle somme parziali \(\{ S_k \}\),

\[S_k = \sum_{n=0}^{k} a_n \ .\]

Carattere della serie. A seconda del limite della successione delle somme parziali \(\lim_{k \rightarrow \infty} S_k\), una serie è

• convergente se il limite \(L\) esiste ed è finito

• divergente se il limite \(L\) esiste ed è infinito

• indeterminata se il limite non esiste

16.2.1. Criteri di convergenza

Una serie può essere:

• convergente

• divergente

• indeterminata

16.2.1.1. Serie a termini concordi

Si discutono qui le serie a termini non negativi. E” facile generalizzare i criteri alle serie a termini non positivi.

Criterio del confronto. Date A = \(\sum_n a_n\), \(B =\sum_n b_n\) serie a termini non negativi tali che \(a_n \le b_n\)

• se \(B\) converge, \(A\) converge

• se \(A\) diverge, \(B\) diverge

Criterio del confronto asintotico. Date A = \(\sum_n a_n\), \(B =\sum_n b_n\) serie a termini non negativi

• se B è convergente e \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \ell \in (0, +\infty)\), allora A è convergente

• se B è divergente e \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} > 0\), allora A è divergente

Criterio del confronto con serie geometrica.

Criterio della radice - Cauchy. Data una serie a termini non negativi \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\) per la quale esiste il limite \(\lim_{n \rightarrow +\infty} {a_n}^{\frac{1}{n}} = k\), allora

• per \(k < 1\) la serie converge

• per \(k > 1\) la serie diverge

• per \(k = 1\) non è possibile stabilire il carattere della serie

Criterio del rapporto - d’Alembert. Data una serie a termini non negativi \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\) per la quale esiste il limite \(\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = k\), allora

• se B è convergente e \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \ell \in (0, +\infty)\), allora A è convergente

• se B è divergente e \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} > 0\), allora A è divergente

Criterio di Raabe.

Criterio dell’integrale.

• …

Dimostrazioni

16.2.1.2. Serie a termini discordi

• Criterio di convergenza assoluta.

• …

16.2.2. Esempi

Example 16.1 (Serie armonica, \(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\))

La serie armonica,

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ ,\]

è una serie divergente. Non è difficile dimostrare che la serie è sempre crescente e non è limitata superiormente: infatti

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{> \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{> \frac{1}{2}} + \dots \ ,\]

la somma dei primi \(2^N\) termini della serie è maggiore di \(1 + \frac{N}{2}\), \(\sum_{n=1}^{2^N} \frac{1}{n} > 1 + \frac{N}{2}\).

Example 16.2 (Serie geometrica, \(\ \sum_{n=1}^{\infty} a^n\))

\[\sum_{n=0}^{\infty} a^n\]

La serie risulta convergente per \(|a|<1\). Infatti

\[S_N = \sum_{n=0}^{N} a^n = 1 + a \sum_{n=0}^{N} - a^{N+1} = 1 - a^{N+1} + a \, S_N\]

\[S_N = \frac{1 - a^{N+1}}{1-a} \ .\]

• per \(|a| < 1\), \(S = \lim_{N \rightarrow \infty} = \frac{1}{1 - a}\)

• per \(a \ge 1\), \(S = \lim_{N \rightarrow \infty} S_N = +\infty\)

• per \(a<1\), …

Example 16.3 (Serie telescopiche, \(\ \sum_{n=1}^{\infty} \left( A_n - A_{n+1} \right)\))

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left( A_{n} - A_{n+1} \right) = A_1 - \lim_{n \rightarrow \infty} A_n \]

Example 16.4 (Serie di Mengoli, \(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}\))

La serie di Mengoli è un esempio di serie telescopica, con

\[a_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\]

e quindi la serie risulta convergente,

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1} = 1 \ .\]

Example 16.5 (\(e\ \) di Eulero o di Nepero, \(\ e := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\))

La serie

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\]

converge a un numero irrazionale \(e\), che viene definito il numero di Eulero o di Nepero, e il cui valore approssimato è

\[e = 2.718281828\text{"e poi la magia finisce"} \ ,\]

cioè le cifre decimali successive non sono periodiche.

Si può dimostrare la convergenza della serie, ad esempio usando il criterio del rapporto di d’Alembert per le serie a termini concordi, dimostrando che il limite

\[\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{n+1} = 0 \ ,\]

è finito e quindi la serie è convergente.

In particolare, usando la serie geometrica con \(a = \frac{1}{2}\),

\[\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^n = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\]

e confrontandola termine a termine con la serie di \(e\),

\[\begin{split}\begin{aligned} 2 = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^n = & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \\ e := \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} = 1 + & 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3!}}_{<\frac{1}{4}} + \underbrace{\frac{1}{4!}}_{< \frac{1}{8}} + \underbrace{\frac{1}{5!}}_{< \frac{1}{16}} + \dots < 1 + \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 3 \end{aligned}\end{split}\]

si può trovare la relazione \(e < 3\).

todo come trovare stime di maggiorazione più restrittive? come trovare approssimazioni di \(e\)? Cenni al calcolo del valore numerico? Sì, ma anche no…

16.3. Successioni di funzioni reali

Definizione. Una successione di funzioni tra l’insieme \(X\) e l’insieme \(Y\), è una funzione che associa ai numeri interi \(n \in \mathbb{N}\) una funzione \(f_n: X \rightarrow Y\).

Limite di una successione di funzioni. Limite «punto per punto». L’esistenza di un limite (finito?) punto per punto definisice la convergenza puntuale.

16.3.1. Convergenza

16.3.1.1. Convergenza puntuale

Definition 16.1 (Convergenza puntuale)

16.3.1.2. Convergenza uniforme

Definition 16.2 (Convergenza uniforme)

Sia \(\{ f_n \}_{n \in \mathbb{N}}\) una successione di funzioni \(f_n: X \rightarrow \mathbb{R}\). La serie converge uniformemente alla funzione \(f\) se per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(N \in \mathbb{N}\) tale che

\[|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon \ , \qquad \forall x \in X \ ,\]

per tutti gli \(n > N\).

Proprietà. Sotto opportune ulteriori ipotesi (vedi W.Rudin Principles of Mathematial Analysis1), la convergenza uniforme permette di invertire l’ordine delle operazioni di limite, derivata e integrale con la sommatoria nelle serie di funzioni:

Convergenza uniforme e il limite

Data una successione di funzioni derivatbili \(f_n(x)\), …

Convergenza uniforme e la derivata

Data una successione di funzioni derivatbili \(f_n(x)\), …

\[f'(x) = g(x)\]

Convergenza uniforme e l’integrale

Data una successione di funzioni derivatbili \(f_n(x)\), …

todo discutere differenze tra i due tipi di convergenza; discutere i limiti della convergenza puntuale; discutere le proprietà

16.4. Serie di funzioni reali

16.4.1. Serie polinomiali

todo fare riferimento alle serie di Taylor e MacLaurin?

\[\begin{split}\begin{aligned} \cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \\ \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \\ e^x & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \\ \end{aligned}\end{split}\]

todo valutare le proprietà di convergenza (e specificare gli intervalli di convergenza) di queste funzioni

16.5. Successioni di numeri complessi

todo Fare riferimento ad algebra complessa. La funzione \(e^{z}\) è necessaria a introdurre la rappresentazione polare dei numeri complessi.

16.6. Serie di numeri complessi

todo Fare riferimento ad algebra complessa. La funzione \(e^{z}\) è necessaria a introdurre la rappresentazione polare dei numeri complessi.

16.7. Successioni di funzioni complesse

16.8. Serie di funzioni complesse

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1

W.Rudin, Principles of Mathematial Analysis, Third Edition