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11 apr 2025

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7.1. Prime definizioni#

7.1.1. Definizione di spazio vettoriale#

Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica formata da:

  • un insieme \(V\), i cui elementi sono chiamati vettori

  • un campo \(K\) (di solito quello dei numeri reali \(\mathbb{R}\) o complessi \(\mathbb{C}\)), i cui elementi sono chiamati scalari

  • due operazioni chiuse rispetto all’insieme \(V\) chiamate:

    • somma vettoriale

    • moltiplicazione per uno scalare, che soddisfano determinate proprietà che verranno elencate in seguito.

Un”operazione è chiusa rispetto a un’insieme, se il risultato delle operazioni è un elemento dell’insieme.

Nel seguito del capitolo verranno considerati solo campi vettoriali definiti sui numeri reali, per i quali \(K = \mathbb{R}\).

7.1.1.1. Operazioni sui vettori: definizione di spazio vettoriale#

  • La somma tra due vettori \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w} \, \in V\) è il vettore

\[\mathbf{v} + \mathbf{w} \in V\]

  • La moltiplicazione per uno scalare di un vettore \(\mathbf{v} \in V\) per uno scalare \(\alpha \in K\) è il vettore

\[\alpha \mathbf{v} \in V\]
Proprietà delle operazioni

  • proprietà commutativa della somma

\[\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \qquad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\]

  • proprietà associativa della somma

\[(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + ( \mathbf{v} + \mathbf{w} ) \qquad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V\]

  • esistenza dell’elemento neutro della somma

\[\exists \mathbf{0}_V \in V \qquad s.t. \qquad \mathbf{u} + \mathbf{0}_V = \mathbf{u} \qquad \forall \mathbf{u} \in V\]

  • esistenza dell’elemento inverso della somma

\[\forall \mathbf{u} \in V \ \exists \mathbf{u}' \in V \qquad s.t. \qquad \mathbf{u} + \mathbf{u}' = \mathbf{0}\]

  • proprietà associativa del prodotto scalare

\[(\alpha \beta) \mathbf{u} = \alpha ( \beta \mathbf{u} ) \qquad \forall \alpha, \beta \in K, \ \mathbf{u} \in V\]

  • esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione per uno scalare

\[\exists 1 \in K \qquad s.t. \qquad 1 \, \mathbf{u} = \mathbf{u} \quad \forall \mathbf{u} \in V\]

  • proprietà distributiva della moltiplicazione per uno scalare

\[(\alpha + \beta) \mathbf{u} = \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{u}\]
\[\alpha (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \alpha \mathbf{u} + \alpha \mathbf{v} \]

7.1.1.2. Esempi#

Esempio 1 - \(n\)-upla di numeri reali ordinati. Gli elementi \(\mathbf{u} = (u_1, u_2, \dots, u_N)\) formano uno spazio vettoriale sui numeri reali, con le operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare con la seguenti definizioni:

  • somma:

\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1, u_2, \dots, u_N) + (v_1, v_2, \dots, v_N) = (u_1+v_1, u_2+v_2, \dots, u_N+v_N) \]

  • moltiplicazione per uno scalare:

\[ \alpha \mathbf{u} = \alpha (u_1, u_2, \dots, u_N) = (\alpha u_1, \alpha u_2, \dots, \alpha u_N) \]

Esempio 2 - vettori in uno spazio euclideo. Fissato un punto \(O\) in uno spazio euclideo (todo riferimenti?), si può associare a ogni punto \(P\) nello spazio il segmento orientato \(\overrightarrow{OP}\). L’insieme dei segmenti orientati associati a ogni punto dello spazio forma uno spazio vettoriale con le operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare con le seguenti definizioni:

  • somma: tramite il metodo del parallelogramma todo

  • moltiplicazione per uno scalare: todo

Esempio 3 - spazio vettoriale delle traslazioni. In uno spazio euclideo, l’insieme delle traslazioni forma uno spazio vettoriale.

todo

Esempio 4 - polinomi di grado minore o uguale a \(n\) L’insieme dei polinomi di grado minore o uguale a \(n\),

\[\mathbf{u} = u_n x^n + u_{n-1} x^{n-1} + \dots u_1 x + u_0 \ ,\]

forma uno spazio vettoriale con le usuali definizioni di somma e moltiplicazione per uno scalare valide per i polinomi.

7.1.2. Base di uno spazio vettoriale#

Combinazione lineare. Una combinazione lineare di \(D\) vettori \(\{ \mathbf{u}_i \}_{i=1:D}\) è data dalla somma

\[\alpha_1 \mathbf{u}_1 + \dots + \alpha_D \mathbf{u}_D \ ,\]

dove i coefficienti scalari \(\alpha_i\) vengono definiti coefficienti della combinazione lineare.

Vettori linearmente indipendenti. Un insieme di vettori \(\{ \mathbf{u}_i \}_{i=1:D}\) è linearmente indipendente se non è possibile esprimere uno di questi vettori in funzione degli altri. Un’altra definizione equivalente definisce un insieme di vettori linearmente indipendente se vale

\[\alpha_1 \mathbf{u}_1 + \dots + \alpha_D \mathbf{u}_D = \mathbf{0} \qquad \rightarrow \qquad \alpha_1 = \dots = \alpha_D = 0 \ ,\]

cioè una combinazione lineare di questi vettori è uguale al vettore nullo solo se tutti i coefficienti della combinazione lineare sono nulli.

Base di uno spazio vettoriale. In uno spazio vettoriale, ogni vettore può essere rappresentato come una combinazione lineare di un insieme di vettori dello spazio, opportunamente scelti. Il numero minimo di questi vettori è definita come dimensione dello spazio vettoriale.