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Obiettivi#
Come usare questo materiale#
A cominciare dalla prima pagina di questo materiale, è bene chiarire quali sono gli obiettivi principali. Gli obiettivi principali sono quelli di raggiungere la familiarità e la dimestichezza necessaria per essere operativi - anche se con qualche aiuto non si nega a nessuno - con gli strumenti di:
algebra, e in particolare gli strumenti dell”algebra lineare e vettoriale in spazi Euclidei, fondamentali in molti ambiti contemporanei: giusto per citarne alcuni, l’algebra vettoriale in spazi euclidei è un utile strumento degli oggetti geometrici (geometria analitica) e del loro moto (meccanica classica) nello spazio; l’algebra lineare è alla base di alcune discipline della fisica (come la meccanica quantistica, formulabile a partire da particolari spazi lineari), e dei molti metodi utilizzati attualmente in calcolo scientifico, in statistica (e in data analysis), e nelle applicazioni di intelligenza artificiale; l’algebra lineare è poi fondamentale in moltissimi algoritmi numerici, che riconducono la soluzione di problemi non lineari alla soluzione di una successione di problemi lineari
geometria analitica, come legame tra algebra e geometria: figure geometriche possono essere parametrizzate e rappresentate come equazioni che legano questi parametri; le incognite di un’equazione possono essere interpretati come coordinate utilizzate per descrivere figure geometriche; la geometria analitica in spazi di piccola dimensione - raffigurabili dalla mente umana - può risultare utile a dare un’interpretazione geometrica di risultati più astratti dell’algebra; l’algebra vettoriale in spazie Euclidei risulta uno strumento utile per un approccio maturo alla geomteria analitica - e spesso per evitare una manica di conti
calcolo: il calcolo è uno degli strumenti più potenti della matematica per lo studio di fenomeni che variano con continuità. Alcuni argomenti utili e propedeutici nello sviluppo del calcolo vengono presentati nel capitolo riservato al precalcolo e nelle prime sezioni dell’introduzione all’analisi. Al costo di rinunciare a qualche dettaglio e a un severo rigore, l’obiettivo è quello di introdurre l’analisi per funzioni a una variabile reale, utilizzando il concetto di limite per introdurre l’operazione di derivata e la sua operazione inversa di integrale, e prendere dimestichezza con questi grazie allo svolgimento di esercizi. Successivamente, si sente la necessità di introdurre le equazioni differenziali ordinarie (data la loro rilevanza in molti ambiti delle scienze), e il calcolo per funzioni multi-variabile e spazi euclidei (considerata la loro rilevanza nelle scienze, come in fisica, e in tutti gli ambiti in cui i fenomeni di interesse dipendono da più di una variabile - cioè quasi tutti, inclusi l’ottimizzazione, argomento che risulta fondamentale per le moderne applicazioni di approssimazione di dati, di controllo e di intelligenza artificiale).
statistica todo
Argomenti secondari, che non possono essere considerati obiettivi finali dello studio della matematica ma al massimo utili strumenti per raggiungere obiettivi superiori - per non esagerare dicendo che costituiscono un livello minimo di decenza - sono:
algebra sui numeri reali e la soluzioni di problemi algebrici di una o più variabili, che coinvolgono equazioni e/o disequazioni
gli argomenti raccolti nel precalcolo che includono:
le funzioni trigonometriche, presentate a partire dalla geometria della circonferenza
la funzione esponenziale, protagonista fondamentale del calcolo - uno dei nostri obiettivi principali, forse il principale -, e la sua funzione inversa, il logaritmo; l’esponenziale viene introdotto come serie di funzioni;
considerando un bilancio difficoltà/utilità pratica per i nostri obiettivi, l’argomento serie non verrà trattato in dettaglio - o se verrà trattato potrebbe essere un argomento di cui prendere le briciole necessarie
l’algebra sui numeri complessi, che risulta utile nella trattazione delle equazioni differenziali ordinarie e che fornisce un legame tra la funzione esponenziale e le funzioni trigonometriche.