26.3. Sistemi lineari tempo invarianti (LTI)

In molti ambiti delle scienze, i sistemi di interesse possono essere descritti come sistemi lineari tempo-invarianti, governati da equazioni differenziali a coefficienti costanti.

Come visto nella sezione sulla soluzione generale di queste equazioni, la soluzione può essere scritta come somma di una soluzione dell’equazione omogenea indipendente dalla forzante del sistema e di una soluzione particolare che dipendente dalla forzante del sistema. Se il sistema è asintoticamente stabile, la soluzione dell’equazione omogenea tende a zero dopo un transitorio iniziale e rimane solo la risposta alla forzante.

todo-list: Analisi di Fourier E” possibile scrivere una funzione come somma di funzioni armoniche; è possibile scrivere una funzione come combinazione di funzioni armoniche. Aggiungere qualcosa a riguardo nel capitolo sulle funzioni trigonometriche e sui numeri complessi - magari nel discreto (DFT, per usare sommatorie ed evitare integrali)

Nella sezione successiva viene analizzata la risposta dei sistemi di primo e di secondo ordine a forzanti armoniche.

26.3.1. Risposta in frequenza di sistemi del primo e del secondo ordine

26.3.1.1. Sistemi del primo ordine

La risposta forzata del sistema asintoticamente stabile del primo ordine (con \(c > 0\) e \(k > 0\))

\[c \dot{x}(t) + k x(t) = F \cos(\Omega t) \ ,\]

coincide con la sua soluzione particolare,

\[x_p(t) = A \cos(\Omega t) + B \sin(\Omega t) \ .\]

I coefficienti \(A\), \(B\) vengono calcolati, valutando la derivata dell’espressione generica della soluzione e

\[\dot{x}_p(t) = -\Omega A \sin(\Omega t) + \Omega B \cos(\Omega t) \ ,\]

inserendola dell’equazione differenziale insieme all’espressione della soluzione,

\[\begin{split}\begin{aligned} F \cos (\Omega t) & = c \dot{x}_p(t) + k x_p(t) = \\ & = c \Omega \left( - A \sin(\Omega t) + B \cos(\Omega t) \right) + k \left( A \cos(\Omega t) + B \sin(\Omega t) \right) = \\ & = \cos(\Omega t) \left[ c \Omega B + k A \right] + \sin(\Omega t) \left[ - c \Omega A + k B \right] \end{aligned}\end{split}\]

Affinché l’espressione proposta sia una soluzione dell’equazione differenziale, l’ultima relazione deve annullarsi per ogni valore della variabile indipendente \(t\), e quindi devono annullarsi indipendendemente i coefficienti delle funzioni \(\cos(\Omega t)\) e \(\sin (\Omega t)\). Si ottengono quindi un sistema algebrico di due equazioni nelle due incognite \(A\), \(B\)

\[\begin{split} \begin{aligned} k A + c \Omega B & = F \\ - c \Omega A + k B & = 0 \\ \end{aligned} \qquad \rightarrow \qquad \begin{aligned} A = \frac{k}{k^2 + (c \Omega)^2} \, F \\ B = \frac{c\Omega}{k^2 + (c \Omega)^2} \, F \\ \end{aligned} \end{split}\]

La soluzione è quindi una combinazione lineare delle funzioni \(\cos\) e \(\sin\) con lo stesso argomento,

\[x_p(t) = \left[ \frac{k}{k^2 + (c \Omega)^2} \cos(\Omega t) + \frac{c \Omega}{k^2 + (c \Omega)^2} \sin(\Omega t) \right] F \ ,\]

che può essere quindi riscritta come

\[x_p(t) = X \cos (\Omega t - \varphi) \ ,\]

con l’ampiezza e il ritardo di fase

\[\begin{split}\begin{aligned} X(\Omega) & = \frac{1}{\sqrt{k^2 + (c\Omega)^2}} \\ \varphi(\Omega) & \ \text{ s.t.} \ \cos \varphi = \frac{k}{\sqrt{k^2 + (c\Omega)^2}} \quad , \quad \sin \varphi = \frac{c\Omega}{\sqrt{k^2 + (c\Omega)^2}} \end{aligned}\end{split}\]

Discussione. todo

• andamenti asintotici per \(\Omega \rightarrow 0, \ +\infty\)

• banda passante

• coefficienti non-dimensionali…

26.3.1.2. Sistemi del secondo ordine

La risposta forzata del sistema asintoticamente stabile del secondo ordine (con \(m > 0\), \(c > 0\) e \(k > 0\))

\[m \ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + k x(t) = F \cos(\Omega t) \ ,\]

coincide con la sua soluzione particolare,

\[x_p(t) = A \cos(\Omega t) + B \sin(\Omega t) \ .\]

I coefficienti \(A\), \(B\) vengono calcolati, valutando le derivate prima e seconda dell’espressione generica della soluzione e

\[\begin{split}\begin{aligned} \dot{x}_p(t) & = -\Omega A \sin(\Omega t) + \Omega B \cos(\Omega t) \\ \ddot{x}_p(t) & = -\Omega^2 A \cos(\Omega t) - \Omega^2 B \sin(\Omega t) \\ \end{aligned}\end{split}\]

inserendola dell’equazione differenziale insieme all’espressione della soluzione,

\[\begin{split}\begin{aligned} F \cos (\Omega t) & = m \ddot{x}(t) + c \dot{x}_p(t) + k x_p(t) = \\ & = m \Omega^2 \left( - A \cos(\Omega t) - B \sin(\Omega t) \right) + c \Omega \left( - A \sin(\Omega t) + B \cos(\Omega t) \right) + k \left( A \cos(\Omega t) + B \sin(\Omega t) \right) = \\ & = \cos(\Omega t) \left[ - m \Omega^2 + A c \Omega B + k A \right] + \sin(\Omega t) \left[ - m \Omega^2 B - c \Omega A + k B \right] \end{aligned}\end{split}\]

Affinché l’espressione proposta sia una soluzione dell’equazione differenziale, l’ultima relazione deve annullarsi per ogni valore della variabile indipendente \(t\), e quindi devono annullarsi indipendendemente i coefficienti delle funzioni \(\cos(\Omega t)\) e \(\sin (\Omega t)\). Si ottengono quindi un sistema algebrico di due equazioni nelle due incognite \(A\), \(B\) identico a quello risolto in precedenza per i sistemi del primo ordine (basta chiamare \(\tilde{k} = k - m \Omega^2\)),

\[\begin{split} \begin{cases} (k - m \Omega^2) A + c \Omega B & = F \\ - c \Omega A + (k - m \Omega^2) B & = 0 \\ \end{cases} \qquad \rightarrow \qquad \begin{aligned} A = \frac{k - m \Omega^2}{(k-m\Omega)^2 + (c \Omega)^2} \, F \\ B = \frac{c\Omega}{(k-m\Omega^2)^2 + (c \Omega)^2} \, F \\ \end{aligned} \end{split}\]

La soluzione è quindi una combinazione lineare delle funzioni \(\cos\) e \(\sin\) con lo stesso argomento,

\[x_p(t) = \left[ \frac{k-m\Omega^2}{(k-m\Omega^2)^2 + (c \Omega)^2} \cos(\Omega t) + \frac{c \Omega}{(k-m\Omega^2)^2 + (c \Omega)^2} \sin(\Omega t) \right] F \ ,\]

che può essere quindi riscritta come

\[x_p(t) = X \cos (\Omega t - \varphi) \ ,\]

con l’ampiezza e il ritardo di fase

\[\begin{split}\begin{aligned} X(\Omega) & = \frac{1}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2 + (c\Omega)^2}} \\ \varphi(\Omega) & \ \text{ s.t.} \ \cos \varphi = \frac{k-m\Omega^2}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2 + (c\Omega)^2}} \quad , \quad \sin \varphi = \frac{c\Omega}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2 + (c\Omega)^2}} \end{aligned}\end{split}\]

Discussione. todo

• andamenti asintotici per \(\Omega \rightarrow 0, \ +\infty\)

• banda passante

• risonanza e ruolo dello smorzamento

• coefficienti non-dimensionali: frequenza naturale e coefficiente di smorzamento