12.5.2. Forma canonica in coordinate polari

Le coniche possono essere anche caratterizzate dal valore dell’eccentricità,

\[e = \dfrac{\text{dist(punto, fuoco)}}{\text{dist(punto, direttrice)}} = \dfrac{\text{dist}(P,F)}{\text{dst}(P,d)} \ .\]

Questa definizione permette di ricavare facilmente l’equazione delle coniche usando un sistema di coordinate polari, centrato nel fuoco \(F\), e con la direzione di riferimento per la misura dell’angolo \(\theta\) che punta verso la direttrice. Con questo sistema di coordinate polari,

\[\begin{split}\begin{aligned} \text{dist}(P,F) & = r \\ \text{dist}(P,d) & = | D - r \cos \theta | \end{aligned}\end{split}\]

l’equazione generale delle coniche diventa

\[e \big| D - r \cos \theta \big| = r \ .\]

Questa equazione descrive tutte le coniche con eccentricità non nulla, cioè tutte le coniche tranne la circonferenza. La circonferenza si ottiene come limite dell” eccentricità \(e \rightarrow 0\) e distanza \(D \rightarrow \infty\), in modo tale da avere \(e D = R\) finito.