7.2.1. Spazio vettoriale euclideo 2-dimensionale: il piano

7.2.1.1. Prodotto interno (o scalare) tra vettori e norma («lunghezza») di un vettore

Uno spazio vettoriale euclideo può essere equipaggiato con un’operazione bilineare, simmetrica (su campi reali), e semi-definita positiva, definita prodotto interno,

\[\cdot: \ V \times V \rightarrow \mathbb{R} \ ,\]

definito come

(7.3)\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} & := |\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta_{\vec{u} \vec{v}} \\ \end{aligned}\end{split}\]

dove \(|\vec{u}|\) rappresenta la norma (qualcosa di un po” più generale della lunghezza) del vettore \(\vec{v}\). Dalla definizione (7.3) si può ricavare il valore della norma (indotta dal prodotto scalare) di un generico vettore, calcolando il prodotto scalare del vettore \(\vec{u}\) con se stesso, cioé \(\vec{u} \cdot \vec{u}\). Poiché un generico vettore ha la stessa direzione di se stesso, l’angolo formato è nullo \(\theta_{\vec{u} \vec{u}} = 0\), e quindi il coseno dell’angolo è uguale a \(1\). Segue quindi che la norma di un vettore indotta da un prodotto scalare è uguale alla radice quadrata del prodotto interno tra il vettore e se stesso,

\[\begin{aligned} |\vec{u}| & = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} \ . \end{aligned}\]

Example 7.10 (Prodotto interno e proiezione)

Il prodotto scalare risulta utile anche nella definizione di operazioni di proiezione. Ad esempio, la proiezione ortogonale di un vettore \(\vec{v}\) lungo la direzione identificata dal vettore unitario \(\hat{u}\) è il vettore

\[\vec{v}_{\parallel \hat{u}} = \hat{u} \left( \hat{u} \cdot \vec{v} \right) \ ,\]

che ha la stessa direzione di \(\hat{u}\) e modulo uguale alla proiezione ortogonale di \(\vec{v}\) su di esso, \(\hat{u} \cdot \vec{v}\). La proiezione del vettore \(\vec{v}\) in direzione ortogonale a quella indicata da \(\hat{u}\) si può ottenere per differenza e quindi

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{v}_{\perp \hat{u}} & = \vec{v} - \vec{v}_{\parallel \hat{u}} = \\ & = \vec{v} - \hat{u} \left( \hat{u} \cdot \vec{v} \right) = \\ & = \left[ \hat{I} - \hat{u} \otimes \hat{u} \right] \cdot \vec{v} \ . \\ \end{aligned}\end{split}\]

dove ci si è concessi la licenza poetica di introdurre nell’ultima riga il tensore di proiezione ortogonale in direzione perpendicolare a \(\hat{u}\),

\[\mathbb{P}_{\perp \hat{u}} = \mathbb{I} - \hat{u} \otimes \hat{u} \ ,\]

rappresentazione astratta (vettoriale/tensoriale, che non dipende dalla scelta di una base vettoriale) della trasformazione già mostrata in algebra lineare todo aggiungere riferimento agli esercizi di algebra lineare sulle proiezioni

todo Discutere rappresentazione intrinseca/astratta/vettoriale e per coordinate.

7.2.1.2. Base cartesiana

In uno spazio vettoriale euclideo, \(E^2\), è possibile definire una base carteisana, \(\{ \hat{x}, \hat{y} \}\), come un’insieme di vettori di norma unitaria e reciprocamente ortogonali,

\[\begin{split}\begin{aligned} \hat{x} \cdot \hat{x} & = \hat{y} \cdot \hat{y} = 1 \\ \hat{x} \cdot \hat{y} & = 0 \end{aligned}\end{split}\]

Un vettore di uno spazio vettoriale può essere sempre scritto come combinazione lineare degli elementi di una base vettoriale,

\[\vec{v} = v_x \hat{x} + v_y \hat{y} \ .\]

Example 7.11 (Componenti cartesiane)

Usando una base cartesiana, è immediato ricavare le coordinate cartesiane di un vettore \(\vec{v}\) come il prodotto interno del vettore \(\vec{v}\) per i vettori della base,

\[\begin{split}\begin{aligned} v_x & = \hat{x} \cdot \vec{v} \\ v_y & = \hat{y} \cdot \vec{v} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Example 7.12 (Operazioni vettoriali)

Usando una base cartesiana, si possono scrivere:

• la moltiplicazione per uno scalare in componenti,

\[\begin{split}\begin{aligned} a \vec{v} & = a (v_x \hat{x} + v_y \hat{y} ) = \\ & = ( a v_x ) \hat{x} + ( a v_y ) \hat{y} \ . \end{aligned}\end{split}\]

• la somma di vettori in componenti

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{v} + \vec{w} & = (v_x \hat{x} + v_y \hat{y} ) + (w_x \hat{x} + w_y \hat{y} ) = \\ & = (v_x + w_x) \hat{x} + (v_y + w_y) \hat{y} \\ \end{aligned}\end{split}\]

• il prodotto interno in termini delle componenti cartesiane dei vettori

\[\begin{split}\begin{aligned} \vec{v} \cdot \vec{w} & = (v_x \hat{x} + v_y \hat{y} ) \cdot (w_x \hat{x} + w_y \hat{y}) = \\ & = v_x w_x + v_y w_y \ . \end{aligned}\end{split}\]