17. Equazioni alle differenze#

Osservazioni

  • Le equazioni alle differenze possono essere viste come la controparte discreta di equazioni differenziali. Questo risulta ancor più evidente nella risoluzione numerica delle equazioni differenziali.

  • I capitoli dovrebbero avere più o meno la stessa organizzazione, per evidenziale queste similitudini. Questo dovrebbe essere fatto però dopo che si sia acquisita una sufficiente dimestichezza con il calcolo infinitesimale

17.1. Prime definizioni#

17.2. Classificazione, esempi e tecniche risolutive#

17.2.1. Equazioni lineari a coefficienti constanti#

17.2.1.1. Examples#

La soluzione di equazioni lineari omogenee ha la forma

\[y_n = c \cdot A^n \ .\]
Equazione lineare omogenea del primo ordine
\[\begin{split}\begin{aligned} y_{n+1} & = a y_n \\ y_0 & = y^{(0)} \end{aligned}\end{split}\]
Soluzione

Soluzione. Inserendo la forma generale della soluzione nell’equazione e nella condizione iniziale, si ottiene il sistema di equazioni

\[\begin{split}\begin{cases} c \cdot A^{n} ( A - a ) = 0 \\ c A^0 = y^{(0)} \ . \end{cases}\end{split}\]

Il caso \(A = 0\) viene escluso da condizioni iniziali non-nulle: in questi casi \(A^0 = 1\) e il sistema si riduce a

\[\begin{split}\begin{cases} A - a = 0 \\ c = y^{(0)} \ . \end{cases}\end{split}\]

La soluzione del sistema, \(c = y^{(0)}\) e \(A = a\), porta alla soluzione dell’equazione lineare del primo ordine

\[y_{n} = y^{(0)} a^{n} \ .\]

Discussione del risultato in base al valore di \(a\).

  • Per \(|a| > 1\) la soluzione diverge. Per \(a > 1\) diverge in maniera monotona verso \(\mp \infty\) a seconda che la condizione iniziale sia negativa o positiva rispettivamente. Per \(a < 1\) la soluzione diverge con oscillazioni di ampiezza sempre crescente, alternando un valore positivo a uno negativo

  • Per \(|a| < 1\) la soluzione converge a \(0\). Per \(a \in (0,1)\) la convergenza è monotona, per \(a \in (-1,0)\) la convergenza alterna valori positivi e negativi, ma con valore assoluto sempre decresente.

  • Per \(|a| = 0\) la soluzione diventa \(y_n = 0\), per ogni \(n \ge 1\), per qualsiasi condizione iniziale \(y^{(0)}\)

  • Per \( a = 1\) la soluzione è costante \(y_n = y^{(0)}\).

  • Per \( a =-1\) la soluzione è oscillante, \(y_n = (-1)^n y^{(0)}\).

Equazione lineare non-omogenea del primo ordine, con forzante costante
\[\begin{split}\begin{aligned} y_{n+1} & = a y_n + f \\ y_0 & = y^{(0)} \end{aligned}\end{split}\]
Soluzione

Soluzione. La soluzione può essere scritta come somma di una soluzione dell’equazione omogenea e di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea.

La soluzione dell’omogenea è stata ricavata in precedenza, \(y^o_n = c a^n\). Per analogia con la forzante - tecnica usata anche nella soluzione delle equazioni differenziali - si cerca una soluzione particolare costante: inserendo un valore costante al posto di \(y_n\), \(y_{n+1}\), si ottiene \(y^p_n = \frac{f}{1-a}\), definita per \(a \ne 1\). Il caso in cui \(a = 1\) viene discusso in seguito. La soluzione dell’equazione non omogenea ha espressione \(y_n = c a^n + \frac{f}{1-a}\), che dopo aver inserito le condizioni iniziali, diventa

\[y_n = y^{(0)} a^n + \frac{f}{1-a} \left( 1 - a^n \right) \ .\]

Caso in cui \(a = 1\). In questo caso, la soluzione dell’equazione omogenea è costante e quindi la soluzione particolare dell’equazione non-omogenea non è una soluzione linearmente indipendente. In questo caso, si cerca una soluzione particolare dell’equazione non-omogenea nella forma \(y_n = A n\)1. Inserendo questa espressione nell’equazione non omogenea si ottiene

\[A ( n + 1 ) = A n + f \ .\]

Quindi \(A = f\), e la soluzione particolare è \(y^{p}_n = f n\). La soluzione completa diventa

\[y_{n} = y^{(0)} + f n \ .\]
Equazione lineare omogenea del secondo ordine
\[\begin{split}\begin{aligned} y_{n+1} & = a_n y_n + a_{n-1} y_{n-1} \\ y_0 & = y^{(0)} \\ y_1 & = y^{(1)} \end{aligned}\end{split}\]
Soluzione

Si cerca la soluzione dell’omogena inserendo l’espressione \(y_n = c A^n\) nell’equazione. Scartando la soluzione banale - che deve essere concorde con condizioni iniziali identicamente nulle - si ottiene l’equazione di secondo grado

\[A^{2} - a_n A - a_{n-1} A = 0 \ , \]

Se le radici sono distinte, queste costituiscono la base delle due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione, che diventa

\[y_n = c_1 A_1^n + c_2 A_2^n \ .\]

Se le radici sono uguali,…1

1(1,2)

Sembra magia, ma non lo è…todo toccherà scrivere due parole. Intanto si rimanda al box Radici multiple - dimostrazione per la soluzione dell’equazione omogenea, per le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Il procedimento è simile, con le dovute differenze tra il caso continuo e discreto).