(math-hs:difference-equations)= # Equazioni alle differenze ```{dropdown} Osservazioni * Le equazioni alle differenze possono essere viste come la controparte discreta di [equazioni differenziali](ode-hs). Questo risulta ancor più evidente nella risoluzione numerica delle equazioni differenziali. * *I capitoli dovrebbero avere più o meno la stessa organizzazione, per evidenziale queste similitudini. Questo dovrebbe essere fatto però dopo che si sia acquisita una sufficiente dimestichezza con il calcolo infinitesimale* ``` (math-hs:difference-equations:def)= ## Prime definizioni (math-hs:difference-equations:types)= ## Classificazione, esempi e tecniche risolutive (ode-hs:types:linear-const)= ### Equazioni lineari a coefficienti constanti (ode-hs:types:linear-const:ex)= #### Examples La soluzione di equazioni lineari omogenee ha la forma $$y_n = c \cdot A^n \ .$$ ````{dropdown} Equazione lineare omogenea del primo ordine :open: $$\begin{aligned} y_{n+1} & = a y_n \\ y_0 & = y^{(0)} \end{aligned}$$ ```{dropdown} Soluzione :open: **Soluzione.** Inserendo la forma generale della soluzione nell'equazione e nella condizione iniziale, si ottiene il sistema di equazioni $$\begin{cases} c \cdot A^{n} ( A - a ) = 0 \\ c A^0 = y^{(0)} \ . \end{cases}$$ Il caso $A = 0$ viene escluso da condizioni iniziali non-nulle: in questi casi $A^0 = 1$ e il sistema si riduce a $$\begin{cases} A - a = 0 \\ c = y^{(0)} \ . \end{cases}$$ La soluzione del sistema, $c = y^{(0)}$ e $A = a$, porta alla soluzione dell'equazione lineare del primo ordine $$y_{n} = y^{(0)} a^{n} \ .$$ **Discussione del risultato in base al valore di $a$.** * Per $|a| > 1$ la soluzione diverge. Per $a > 1$ diverge in maniera monotona verso $\mp \infty$ a seconda che la condizione iniziale sia negativa o positiva rispettivamente. Per $a < 1$ la soluzione diverge con oscillazioni di ampiezza sempre crescente, alternando un valore positivo a uno negativo * Per $|a| < 1$ la soluzione converge a $0$. Per $a \in (0,1)$ la convergenza è monotona, per $a \in (-1,0)$ la convergenza alterna valori positivi e negativi, ma con valore assoluto sempre decresente. * Per $|a| = 0$ la soluzione diventa $y_n = 0$, per ogni $n \ge 1$, per qualsiasi condizione iniziale $y^{(0)}$ * Per $ a = 1$ la soluzione è costante $y_n = y^{(0)}$. * Per $ a =-1$ la soluzione è oscillante, $y_n = (-1)^n y^{(0)}$. ``` ```` ````{dropdown} Equazione lineare non-omogenea del primo ordine, con forzante costante :open: $$\begin{aligned} y_{n+1} & = a y_n + f \\ y_0 & = y^{(0)} \end{aligned}$$ ```{dropdown} Soluzione :open: **Soluzione.** La soluzione può essere scritta come somma di una soluzione dell'equazione omogenea e di una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. La soluzione dell'omogenea è stata ricavata in precedenza, $y^o_n = c a^n$. Per analogia con la forzante - tecnica usata anche nella soluzione delle equazioni differenziali - si cerca una soluzione particolare costante: inserendo un valore costante al posto di $y_n$, $y_{n+1}$, si ottiene $y^p_n = \frac{f}{1-a}$, definita per $a \ne 1$. Il caso in cui $a = 1$ viene discusso in seguito. La soluzione dell'equazione non omogenea ha espressione $y_n = c a^n + \frac{f}{1-a}$, che dopo aver inserito le condizioni iniziali, diventa $$y_n = y^{(0)} a^n + \frac{f}{1-a} \left( 1 - a^n \right) \ .$$ **Caso in cui $a = 1$.** In questo caso, la soluzione dell'equazione omogenea è costante e quindi la soluzione particolare dell'equazione non-omogenea non è una soluzione linearmente indipendente. In questo caso, si cerca una soluzione particolare dell'equazione non-omogenea nella forma $y_n = A n$[^footnote-magic]. Inserendo questa espressione nell'equazione non omogenea si ottiene $$A ( n + 1 ) = A n + f \ .$$ Quindi $A = f$, e la soluzione particolare è $y^{p}_n = f n$. La soluzione completa diventa $$y_{n} = y^{(0)} + f n \ .$$ [^footnote-magic]: Sembra magia, ma non lo è...**todo** toccherà scrivere due parole. Intanto si rimanda al box **Radici multiple - dimostrazione** per la [soluzione dell'equazione omogenea](ode-hs:types:linear-const:sol:homo), per le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Il procedimento è simile, con le dovute differenze tra il caso continuo e discreto). ``` ```` ````{dropdown} Equazione lineare omogenea del secondo ordine :open: $$\begin{aligned} y_{n+1} & = a_n y_n + a_{n-1} y_{n-1} \\ y_0 & = y^{(0)} \\ y_1 & = y^{(1)} \end{aligned}$$ ```{dropdown} Soluzione :open: Si cerca la soluzione dell'omogena inserendo l'espressione $y_n = c A^n$ nell'equazione. Scartando la soluzione banale - che deve essere concorde con condizioni iniziali identicamente nulle - si ottiene l'equazione di secondo grado $$A^{2} - a_n A - a_{n-1} A = 0 \ , $$ Se le radici sono distinte, queste costituiscono la base delle due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione, che diventa $$y_n = c_1 A_1^n + c_2 A_2^n \ .$$ Se le radici sono uguali,...[^footnote-magic] ``` ````