16.1. Successioni numeriche reali#
16.1.1. Definizioni#
Definizione di successione. Una successione di numeri reali è una funzione \(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\), che associa ai numeri interi \(n \in \mathbb{N}\) un numero reale \(a_n = f(n)\).
Limite di una successione. Una successione \(\{ a_n \}\) ha limite \(\ell\) se per ogni intorno \(U_{\ell}\) di \(\ell\) esiste un numero naturale \(N \in \mathbb{N}\) tale che
todo fare associazione con il limite finito all’infinito per funzioni
Se il limite esiste è unico (todo se \(\ell \in T\), con \(T\) spazio di Hasudorff. Come evitare questa complicazione?). A seconda del limite della successione, una successione è:
convergente se il limite \(\ell\) esiste ed è finito
divergente se il limite \(\ell\) esiste ed è infinito
indeterminata se il limite non esiste
16.1.2. Caratteristiche#
Limitatezza. …
Permanenza del segno. …
Valori assoluti. …
Succesioni monotone. Una successione monotona \(\{ a_n \}\) converge sempre a un limite. Il limite è l’estremo superiore se la successione è monotona crescente, o l’estremo inferiore se la successione è monotona decrescente.
Il limite è finito se e solo se la successione monotona è limitata.
Dimostrazione, qui o in fondo in una sezione di dimostrazioni/esercizi
16.1.3. Operazioni con successioni#
elencare operazioni, mettere dimostrazione in una sezione di dimostrazioni/esercizi, nello stile Schaum
todo ha senso?
16.1.4. Confronto tra successioni#
elencare operazioni, mettere dimostrazione in una sezione di dimostrazioni/esercizi, nello stile Schaum
todo ha senso?
16.1.5. Criteri di convergenza#
elencare operazioni, mettere dimostrazione in una sezione di dimostrazioni/esercizi, nello stile Schaum
todo Esistono limiti di convergenza delle successioni? Non è sufficiente calcolare il limite del termine \(a_n\), per \(n \rightarrow +\infty\)?
Probabilmente ha senso rimuovere questo paragrafo.