27.4. Introduzione ai sistemi di controllo#

Questa sezione mostra come le equazioni differenziali ordinarie non siano solo strumenti per descrivere la natura, ma anche un modello matematico per governarla. Studiare un sistema dinamico (come un termostato, un drone o un braccio robotico) significa analizzarne la risposta naturale; progettarne il controllo significa invece aggiungere nuovi termini all’equazione per forzare il sistema a comportarsi come desideriamo.

L’idea centrale è la retroazione, feedback: viene misurato l’errore \(e(t) := \overline{x}(t) - x(t)\) tra lo stato del sistema \(x(t)\) e lo stato desiderato del sistema \(\overline{x}(t)\), e usato per generare una forzante correttiva. Questa operazione trasforma i parametri intrinseci del sistema — come la rigidezza o lo smorzamento — permettendo di modificarne il comportamento.

27.4.1. Strategie di regolazione#

Per manipolare la dinamica di un sistema, vengono utilizzati dei «regolatori». I più comuni sono basati sulla combinazione di tre azioni fondamentali applicate all’errore \(e(t) := \overline{x}(t)−x(t)\):

Azione Proporzionale (P). Agisce sul presente. Fornisce una spinta proporzionale all’errore attuale. Matematicamente, agisce come una «molla virtuale» che tira il sistema verso il riferimento.

Azione Derivativa (D). Anticipa il futuro. Reagisce alla velocità con cui l’errore cambia. Introduce uno «smorzamento virtuale», fondamentale per frenare il sistema ed evitare che oscilli violentemente o superi il bersaglio (overshoot).

Azione Integrale (I). Ricorda il passato. Accumula l’errore nel tempo per eliminare quei piccoli residui che l’azione proporzionale non riesce a correggere (errore a regime). Risulta necessario per ottenere una tracciamento perfetto (almeno di segnali lenti).

La presenza di un termine integrale aumenta l’ordine del sistema.

27.4.1.1. Regolatore PD#

Ideale per stabilizzare sistemi meccanici, si definisce come:

\[f(t) = K_p e(t) + K_d \dot{e}(t) \ .\]

27.4.1.2. Regolatore PI#

Utilizzato per garantire che il sistema raggiunga esattamente il valore desiderato, anche in presenza di disturbi costanti:

\[f(t) = K_p e(t) + K_i \int_{\tau=0}^{t} \dot{e}(\tau) d \tau \ .\]

27.4.2. Esempi#

27.4.2.1. Sistema del primo ordine#

\[m \dot{x} + c x = f\]
Regolatore PD
Regolatore PI

Il regolatore PI prende come ingresso (forzante) l’errore dello stato rispetto al riferimento \(e := \overline{x} - x\) e restituisce la forzante \(f\),

\[\begin{split}\begin{aligned} f & = K_p \, e + K_i \, \int_{\tau=0}^{t} e(\tau)d \tau = \\ & = K_p ( \overline{x} - x ) + K_i \int_{\tau=0}^{t} \left( \overline{x}(\tau) - x(\tau) \right) d \tau \ . \end{aligned}\end{split}\]

Inserendo questa espressione della forzante nell’equazione dinamica del sistema, si ottiene il sistema in anello chiuso

\[m \dot{x} + ( c + K_p ) x = K_p \overline{x} + K_i \int_{\tau=0}^{t} \left( \overline{x}(\tau) - x(\tau) \right) d \tau \ .\]

Si calcola la derivata prima di questa equazione per ottenere un’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine.

\[m \ddot{x} + \left( c + K_p \right) \dot{x} = K_p \dot{\overline{x}} + K_i \left( \overline{x} - x \right) \ . \]
\[m \ddot{x} + \left( c + K_p \right) \dot{x} + K_i x = K_i \overline{x} + K_p \dot{\overline{x}} \ . \]

Osservazione. I coefficienti del regolatore PI modificano lo smorzamento del sistema \(c \rightarrow c + K_p\), e introducono una rigidezza \(0 \rightarrow K_i\).

Osservazione. Con un regolatore PI, è possibile ottenere un tracciamento esatto a regime di un segnale costante a tratti (\(\dot{\overline{x}} = 0\)), poiché la soluzione a regime (assumendo che il sistema sia stabile, e quindi \(\ddot{x} \rightarrow 0\), \(\dot{x} \rightarrow 0\)) tende al valore di riferimento \(x \rightarrow \overline{x}\).

27.4.2.2. Sistema del secondo ordine#

Regolatore PD
\[m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = f\]

Si vuole costruire un sistema di controllo che fornisca la forzante \(f\) necessaria al sistema meccanico per ottenere uno stato del sistema desiderato \(\overline{x}\). Questo riferimento qui viene dato come ingressi a gradino.

Il regolatore PD prende come ingresso (forzante) l’errore dello stato rispetto al riferimento \(e := \overline{x} - x\) e restituisce la forzante \(f\),

\[\begin{split}\begin{aligned} f & = K_p \, e + K_d \, \dot{e} = \\ & = K_p ( \overline{x} - x ) + K_d \left( \dot{\overline{x}} - \dot{x} \right) \ . \end{aligned}\end{split}\]

Inserendo questa espressione della forzante nell’equazione dinamica del sistema, si ottiene il sistema in anello chiuso

\[m \ddot{x} + \left( c + K_d \right) \dot{x} + \left( k + K_p \right) x = K_p \overline{x} + K_d \dot{\overline{x}} \ .\]

Osservazione. Con un regolatore PD, non è possibile ottenere un tracciamento esatto a regime di un segnale costante a tratti, poiché la soluzione a regime (assumendo che il sistema sia stabile) è \(x = \frac{K_p}{k + K_p} \overline{x}\).

Regolatore PI
\[m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = f\]

Si vuole costruire un sistema di controllo che fornisca la forzante \(f\) necessaria al sistema meccanico per ottenere uno stato del sistema desiderato \(\overline{x}\). Questo riferimento qui viene dato come ingressi a gradino.

Il regolatore PI prende come ingresso (forzante) l’errore dello stato rispetto al riferimento \(e := \overline{x} - x\) e restituisce la forzante \(f\),

\[\begin{split}\begin{aligned} f & = K_p \, e + K_i \, \int_{\tau=0}^{t} e(\tau)d \tau = \\ & = K_p ( \overline{x} - x ) + K_i \int_{\tau=0}^{t} \left( \overline{x}(\tau) - x(\tau) \right) d \tau \ . \end{aligned}\end{split}\]

Inserendo questa espressione della forzante nell’equazione dinamica del sistema, si ottiene il sistema in anello chiuso

\[m \ddot{x} + c \dot{x} + \left( k + K_p \right) x = K_p \overline{x} + K_i \int_{\tau=0}^{t} \left( \overline{x}(\tau) - x(\tau) \right) d \tau \ .\]

…

todo Il sistema diventa del terzo ordine. Come trovare le radici del polinomio caratteristico? Aggiungere interattività