16.2. Serie di numeri reali

Definizione. Data una successione di elementi \(\{ a_n \}\), \(a_n \in \mathbb{R}\), la serie associata è la somma infinita

\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n \ .\]

Dato ogni indice \(k\) della successione \(\{ a_n \}\), si definisce la successione delle somme parziali \(\{ S_k \}\),

\[S_k = \sum_{n=0}^{k} a_n \ .\]

Serie infinita. Il valore di una serie numerica infinita è definito come il limite della successione delle sue somme parziali.

Carattere della serie. A seconda del limite della successione delle somme parziali \(\lim_{k \rightarrow \infty} S_k\), una serie è

• convergente se il limite \(L\) esiste ed è finito

• divergente se il limite \(L\) esiste ed è infinito

• indeterminata se il limite non esiste

16.2.1. Criteri di convergenza

Una serie può essere:

• convergente

• divergente

• indeterminata

16.2.1.1. Serie a termini concordi

Si discutono qui le serie a termini non negativi. E” facile generalizzare i criteri alle serie a termini non positivi.

Criterio del confronto. Date A = \(\sum_n a_n\), \(B =\sum_n b_n\) serie a termini non negativi tali che \(a_n \le b_n\)

• se \(B\) converge, \(A\) converge

• se \(A\) diverge, \(B\) diverge

Criterio del confronto asintotico. Date A = \(\sum_n a_n\), \(B =\sum_n b_n\) serie a termini non negativi

• se B è convergente e \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \ell \in (0, +\infty)\), allora A è convergente

• se B è divergente e \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} > 0\), allora A è divergente

Criterio del confronto con serie geometrica.

Criterio della radice - Cauchy. Data una serie a termini non negativi \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\) per la quale esiste il limite \(\lim_{n \rightarrow +\infty} {a_n}^{\frac{1}{n}} = k\), allora

• per \(k < 1\) la serie converge

• per \(k > 1\) la serie diverge

• per \(k = 1\) non è possibile stabilire il carattere della serie

Criterio del rapporto - d’Alembert. Data una serie a termini non negativi \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\) per la quale esiste il limite \(\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = k\), allora

• se B è convergente e \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \ell \in (0, +\infty)\), allora A è convergente

• se B è divergente e \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} > 0\), allora A è divergente

Criterio di Raabe.

Criterio dell’integrale.

• …

Dimostrazioni

16.2.1.2. Serie a termini discordi

• Criterio di convergenza assoluta.

• …

16.2.2. Esempi

Example 16.1 (Serie armonica, \(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\))

La serie armonica,

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ ,\]

è una serie divergente. Non è difficile dimostrare che la serie è sempre crescente e non è limitata superiormente: infatti

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{> \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{> \frac{1}{2}} + \dots \ ,\]

la somma dei primi \(2^N\) termini della serie è maggiore di \(1 + \frac{N}{2}\), \(\sum_{n=1}^{2^N} \frac{1}{n} > 1 + \frac{N}{2}\).

Example 16.2 (Serie geometrica, \(\ \sum_{n=1}^{\infty} a^n\))

\[\sum_{n=0}^{\infty} a^n\]

La serie risulta convergente per \(|a|<1\). Infatti

\[S_N = \sum_{n=0}^{N} a^n = 1 + a \sum_{n=0}^{N} - a^{N+1} = 1 - a^{N+1} + a \, S_N\]

\[S_N = \frac{1 - a^{N+1}}{1-a} \ .\]

• per \(|a| < 1\), \(S = \lim_{N \rightarrow \infty} = \frac{1}{1 - a}\)

• per \(a \ge 1\), \(S = \lim_{N \rightarrow \infty} S_N = +\infty\)

• per \(a<1\), …

Example 16.3 (Serie telescopiche, \(\ \sum_{n=1}^{\infty} \left( A_n - A_{n+1} \right)\))

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left( A_{n} - A_{n+1} \right) = A_1 - \lim_{n \rightarrow \infty} A_n \]

Example 16.4 (Serie di Mengoli, \(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}\))

La serie di Mengoli è un esempio di serie telescopica, con

\[a_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\]

e quindi la serie risulta convergente,

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1} = 1 \ .\]

Example 16.5 (\(e\ \) di Eulero o di Nepero, \(\ e := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\))

La serie

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\]

converge a un numero irrazionale \(e\), che viene definito il numero di Eulero o di Nepero, e il cui valore approssimato è

\[e = 2.718281828\text{"e poi la magia finisce"} \ ,\]

cioè le cifre decimali successive non sono periodiche.

Si può dimostrare la convergenza della serie, ad esempio usando il criterio del rapporto di d’Alembert per le serie a termini concordi, dimostrando che il limite

\[\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{n+1} = 0 \ ,\]

è finito e quindi la serie è convergente.

In particolare, usando la serie geometrica con \(a = \frac{1}{2}\),

\[\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^n = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\]

e confrontandola termine a termine con la serie di \(e\),

\[\begin{split}\begin{aligned} 2 = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^n = & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \\ e := \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} = 1 + & 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3!}}_{<\frac{1}{4}} + \underbrace{\frac{1}{4!}}_{< \frac{1}{8}} + \underbrace{\frac{1}{5!}}_{< \frac{1}{16}} + \dots < 1 + \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 3 \end{aligned}\end{split}\]

si può trovare la relazione \(e < 3\).

todo come trovare stime di maggiorazione più restrittive? come trovare approssimazioni di \(e\)? Cenni al calcolo del valore numerico? Sì, ma anche no…