(math-hs:series-numerical-real)= # Serie di numeri reali **Definizione.** Data una **successione** di elementi $\{ a_n \}$, $a_n \in \mathbb{R}$, la serie associata è la somma infinita $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n \ .$$ Dato ogni indice $k$ della successione $\{ a_n \}$, si definisce la successione delle **somme parziali** $\{ S_k \}$, $$S_k = \sum_{n=0}^{k} a_n \ .$$ **Serie infinita.** Il valore di una serie numerica infinita è definito come il limite della successione delle sue somme parziali. **Carattere della serie.** A seconda del limite della successione delle somme parziali $\lim_{k \rightarrow \infty} S_k$, una serie è - **convergente** se il limite $L$ esiste ed è finito - **divergente** se il limite $L$ esiste ed è infinito - **indeterminata** se il limite non esiste ## Criteri di convergenza Una serie può essere: - convergente - divergente - indeterminata ### Serie a termini concordi Si discutono qui le serie a termini non negativi. E' facile generalizzare i criteri alle serie a termini non positivi. **Criterio del confronto.** Date A = $\sum_n a_n$, $B =\sum_n b_n$ serie a **termini non negativi** tali che $a_n \le b_n$ - se $B$ converge, $A$ converge - se $A$ diverge, $B$ diverge **Criterio del confronto asintotico.** Date A = $\sum_n a_n$, $B =\sum_n b_n$ serie a **termini non negativi** - se B è convergente e $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \ell \in (0, +\infty)$, allora A è convergente - se B è divergente e $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} > 0$, allora A è divergente **Criterio del confronto con serie geometrica.** **Criterio della radice - Cauchy.** Data una serie a termini non negativi $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ per la quale esiste il limite $\lim_{n \rightarrow +\infty} {a_n}^{\frac{1}{n}} = k$, allora - per $k < 1$ la serie converge - per $k > 1$ la serie diverge - per $k = 1$ non è possibile stabilire il carattere della serie **Criterio del rapporto - d'Alembert.** Data una serie a termini non negativi $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ per la quale esiste il limite $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = k$, allora - se B è convergente e $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \ell \in (0, +\infty)$, allora A è convergente - se B è divergente e $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} > 0$, allora A è divergente **Criterio di Raabe.** **Criterio dell'integrale.** - ... **Dimostrazioni** ### Serie a termini discordi - **Criterio di convergenza assoluta.** - ... ## Esempi ```{prf:example} Serie armonica, $\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ :label: series-harmonic :class: dropdown La serie armonica, $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ ,$$ è una serie divergente. Non è difficile dimostrare che la serie è sempre crescente e non è limitata superiormente: infatti $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{> \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{> \frac{1}{2}} + \dots \ ,$$ la somma dei primi $2^N$ termini della serie è maggiore di $1 + \frac{N}{2}$, $\sum_{n=1}^{2^N} \frac{1}{n} > 1 + \frac{N}{2}$. ``` ```{prf:example} Serie geometrica, $\ \sum_{n=1}^{\infty} a^n$ :label: series-geometric :class: dropdown $$\sum_{n=0}^{\infty} a^n$$ La serie risulta convergente per $|a|<1$. Infatti $$S_N = \sum_{n=0}^{N} a^n = 1 + a \sum_{n=0}^{N} - a^{N+1} = 1 - a^{N+1} + a \, S_N$$ $$S_N = \frac{1 - a^{N+1}}{1-a} \ .$$ - per $|a| < 1$, $S = \lim_{N \rightarrow \infty} = \frac{1}{1 - a}$ - per $a \ge 1$, $S = \lim_{N \rightarrow \infty} S_N = +\infty$ - per $a<1$, ... ``` ```{prf:example} Serie telescopiche, $\ \sum_{n=1}^{\infty} \left( A_n - A_{n+1} \right)$ :label: series-telescopic :class: dropdown $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left( A_{n} - A_{n+1} \right) = A_1 - \lim_{n \rightarrow \infty} A_n $$ ``` ```{prf:example} Serie di Mengoli, $\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ :label: series-mengoli :class: dropdown La serie di Mengoli è un esempio di serie telescopica, con $$a_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$ e quindi la serie risulta convergente, $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1} = 1 \ .$$ ``` (math-hs:series:e-euler)= ```{prf:example} $e\ $ di Eulero o di Nepero, $\ e := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ :label: series-e-euler :class: dropdown La serie $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$$ converge a un numero irrazionale $e$, che viene definito il **numero di Eulero o di Nepero**, e il cui valore approssimato è $$e = 2.718281828\text{"e poi la magia finisce"} \ ,$$ cioè le cifre decimali successive non sono periodiche. Si può dimostrare la convergenza della serie, ad esempio usando il criterio del rapporto di d'Alembert per le serie a termini concordi, dimostrando che il limite $$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{n+1} = 0 \ ,$$ è finito e quindi la serie è convergente. In particolare, usando la serie geometrica con $a = \frac{1}{2}$, $$\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^n = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$$ e confrontandola termine a termine con la serie di $e$, $$\begin{aligned} 2 = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^n = & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \\ e := \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} = 1 + & 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3!}}_{<\frac{1}{4}} + \underbrace{\frac{1}{4!}}_{< \frac{1}{8}} + \underbrace{\frac{1}{5!}}_{< \frac{1}{16}} + \dots < 1 + \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 3 \end{aligned}$$ si può trovare la relazione $e < 3$. **todo** *come trovare stime di maggiorazione più restrittive? come trovare approssimazioni di $e$? Cenni al calcolo del valore numerico? Sì, ma anche no...* ```