Legame tra potenziale e velocità. Funzione di corrente per problemi 2D incomprimibili. $\(\bm{u} = \bm{\nabla} \phi \quad \begin{cases} \begin{aligned} & u_x = \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y} \\ & u_y = \frac{\partial \phi}{\partial y} = - \frac{\partial \psi}{\partial x} \ . \end{aligned} \end{cases}\)\( Flusso di volume come differenza di funzione di corrente \)\(\begin{aligned} \int_{A}^B \bm{u} \cdot {\bm{\hat{n}}} & = \int_{A}^B u n_x + v n_y = \\ & = \int_A^B \dfrac{\partial \psi}{\partial x} t_x + \dfrac{\partial \psi}{\partial y} t_y = \\ & = \int_A^B \left[ \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \dfrac{dx}{ds} + \dfrac{\partial \psi}{\partial y} \dfrac{dy}{ds} \right] ds = \\ & = \int_{A}^B \dfrac{d \psi}{ds} (x(s),y(s)) ds = \psi(B) - \psi(A) \ . \end{aligned}\)$

• Campo di velocità, punto di ristagno e linee di corrente rettilinee

  • \(\phi\), \(\bm{u}\), \(\psi\): $\(\phi = r^2 \cos(2\theta) = r^2 ( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = x^2 - y^2\)\( \)\(\begin{cases} u = \partial \phi / \partial x = 2x \\ v = \partial \phi / \partial y = -2y \end{cases} \qquad \rightarrow \qquad \psi(x,y) = 2 x y + C\)$

  • punto di ristagno: \((x,y)=(0,0)\).

  • Linee di corrente rettilinee: \((x,y) = (0,y)\) entranti nell’origine, \((x,y) = (x,0)\) uscenti dall’origine.

• …

• flusso attraverso \(AB\) e \(BC\). La normale considerata «punta a destra» mentre viene percorsa la curva: valgono quindi \(n_x = t_y\) e \(n_y = -t_x\). $\(\begin{cases} \Phi_{AB} = \psi(B) - \psi(A) = 1 - 0 = 1 \\ \Phi_{BC} = \psi(C) - \psi(B) = 0 - 1 = -1 \end{cases}\)\( Si consideri la curva chiusa costituita da \)AB\(, \)BC\( e dagli assi. Non c'è flusso attraverso gli assi e quello che entra in \)AB\( esce da \)BC$. il campo è regolare in tutto il dominio.

• Il gradiente di una funzione è perpendicolare alle curve di livello: si può quindi verificare che i gradienti siano perpendicolari. Considerando le relazioni: $\(\begin{cases} u & = \partial \phi / \partial x = \partial \psi / \partial y \\ v & = \partial \phi / \partial y = - \partial \psi / \partial x \end{cases}\)\( Si può scrivere \)\(\bm{\nabla}\phi \cdot \bm{\nabla}\psi = u v - v u = 0\)$