4.16. Approfondimenti su alcuni bilanci#

In questa sezione vengono analizzate alcune equazioni di bilancio in forma differenziale (è quindi necessario che queste equazioni siano valide!): vengono usate sia la rappresentazione euleriana sia la rappresentazione lagrangiana, al fine di ottenere la migliore comprensione dei fenomeni fisici coinvolti.

Si indicano con \(\mathbf{x}_0\) le coordinate lagrangiane, solidali con il continuo; si indicano con \(\mathbf{x}\) le coordinate euleriane. I due sistemi di coordinate sono legati tra di loro dalle relazioni

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{x} = \mathbf{x}(\mathbf{x}_0,t) \\ \frac{D \mathbf{x}}{D t} = \left.\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|_{\mathbf{x}_0} = \mathbf{u} \end{aligned}\end{split}\]

La derivata \(\partial/\partial t\) indica la derivata temporale fatta a coordinata euleriana \(\mathbf{x}\) costante. La derivata materiale \(D/D t\) indica la derivata fatta «a coordinata lagrangiana» costante e rappresenta quindi la variazione temporale di una quantità legata alla particella materiale, che si muove come il continuo, per la definizione di coordinate materiali.

Il legame tra \(D/Dt\) e \(\partial/\partial t\) si trova utilizzando le regole di derivazione per funzioni composte. Scrivendo la funzione generica \(f\) come

\[f(\mathbf{x},t) = f(\mathbf{x}(\mathbf{x}_0,t),t) = f_0(\mathbf{x}_0,t) = f_0(\mathbf{x}_0(\mathbf{x},t),t) ,\]

si ottiene

\[\frac{D}{Dt} f = \left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{\mathbf{x}_0} f(\mathbf{x},t) = \left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{\mathbf{x}_0} f(\mathbf{x}(\mathbf{x_0},t),t) = \left.\frac{\partial f}{\partial t}\right|_{\mathbf{x}} + \left.\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right|_{\mathbf{x}_0} \cdot \left.\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}\right|_{t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla} f .\]

4.16.1. Continuità#

L’equazione di continuità può essere riscritta mettendo in evidenza la derivata materiale

\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0 \quad \rightarrow \quad \frac{D\rho}{Dt} = -\rho \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u}\]

É possibile dimostrare1 la relazione \(DJ/Dt = J \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u}\), dove \(J\) indica il determinante del gradiente \(\partial \mathbf{x}/\partial \mathbf{x}_0\), si può scrivere l’equazione in coordinate lagrangiane, dopo averla moltiplicata per \(J\) (\(\ne 0\))

\[J \frac{D\rho}{Dt} = - \rho \frac{DJ}{Dt} \Rightarrow \frac{D (J\rho)}{Dt} = 0 \Rightarrow J \rho = \rho_0\]

La variazione della densità di una particella materiale è legata alla variazione del volume della stessa (ricordare che \(dv = J dV\)). Questa conclusione è ragionevole se si pensa che la massa della particella materiale si conserva (\(dm = \rho dv = \rho_0 dV\)).

Il vincolo di incomprimibilità rappresenta la costanza del volume della particella materiale. Il volume \(dv\) coincide con il volume di riferimento \(dV\), implicando \(J \equiv 1\) e quindi \(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0\).

4.16.2. Quantità di moto#

L’equazione della quantità di moto è

\[\rho \left\{ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \left( \mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla} \right) \mathbf{u} \right\} = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbb{T} + \mathbf{f}\]

dove con \(\mathbb{T}\) è stato indicato il tensore degli sforzi, che per un fluido newtoniano è \(\mathbb{T} = -p \mathbb{I} + \mathbb{S}\) con \(\mathbb{S} = 2 \mu \mathbb{D} + \lambda \left( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} \right) \mathbb{I}\) e \(\mathbb{D} = \frac{1}{2} \left[ \mathbf{\nabla}\mathbf{u} + \mathbf{\nabla}^T \mathbf{u} \right]\) il tensore velocità di deformazione, parte simmetrica del gradiente della velocità. Introducendo la derivata materiale, si ritrova una forma «familiare» del secondo principio della dinamica

\[\rho\frac{D\mathbf{u}}{D t} = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbb{T} + \mathbf{f} \qquad \Rightarrow \qquad \rho\mathbf{a} = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbb{T} + \mathbf{f}\]

4.16.2.1. Richiami di geometria delle curve nello spazio.#

Una curva è un luogo di punti che può essere parametrizzato tramite un parametro solo. La parametrizzazione \(\mathbf{r}(t)\) della curva \(\mathbf{r}\) è definita regolare se \(d\mathbf{r}/dt \ne 0\). Si definisce poi una parametrizzazione regolare particolare, l’ascissa curvilinea \(s\) tale per cui \(\left| d\mathbf{r}(s)/ds \right| = 1, \forall s \in (a,b)\).

Nel seguito si introduce brevemente la terna di Frenet \(\left\{\mathbf{\hat{t}}, \mathbf{\hat{n}}, \mathbf{\hat{b}} \right\}\), formata dai versori tangente, normale e binormale, in funzione dell’ascissa curvilinea. Si dimostra che

\[\mathbf{\hat{t}}(s) = \dfrac{d\mathbf{r}}{ds}\]

La derivata seconda della posizione \(\mathbf{r}\), cioè la derivata prima del versore tangente \(\mathbf{\hat{t}}\) è legata al versore normale \(\mathbf{\hat{t}}\), tramite la curvatura \(k = \left| \frac{d\mathbf{\hat{t}}}{ ds} \right|\).

\[\mathbf{\hat{n}} = \dfrac{\frac{d\mathbf{\hat{t}}}{ds}} {\left|\frac{d\mathbf{\hat{t}}}{ds} \right|} \qquad \Rightarrow \qquad \dfrac{d\mathbf{\hat{t}}}{ds} = k \mathbf{\hat{n}}\]

Il versore binormale è definito a completare la terna ortonormale destrorsa

\[\mathbf{\hat{b}} = \mathbf{\hat{t}} \times \mathbf{\hat{n}}\]

Per completezza e senza troppo sforzo si calcolano anche le derivate di tali versori, ricordando che hanno modulo unitario e costante, e formano una terna ortogonale in ogni punto, introducendo la definizione della torsione \(\tau = \frac{d \mathbf{\hat{n}}}{ds}\cdot \mathbf{b}\).

\[\begin{split}\begin{aligned} & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \frac{d \mathbf{\hat{t}}}{ds} = k \mathbf{\hat{n}} \\ & \begin{cases} \mathbf{\hat{n}}'\cdot \mathbf{\hat{n}} = 0 \\ \mathbf{\hat{n}}'\cdot \mathbf{\hat{t}}+\mathbf{\hat{t}}'\cdot \mathbf{\hat{n}} = 0 \\ \mathbf{\hat{n}}'\cdot \mathbf{\hat{b}} = \tau \\ \end{cases} \Rightarrow \quad \begin{cases} \mathbf{\hat{n}}'\cdot \mathbf{\hat{n}} = 0 \\ \mathbf{\hat{n}}'\cdot \mathbf{\hat{t}} = -k \\ \mathbf{\hat{n}}'\cdot \mathbf{\hat{b}} = \tau \\ \end{cases} \qquad \quad \quad \Rightarrow \quad \frac{d \mathbf{\hat{n}}}{ds} = - k \mathbf{\hat{t}} + \tau \mathbf{\hat{b}} \\ & \begin{cases} \mathbf{\hat{b}}'\cdot \mathbf{\hat{b}} = 0 \\ \mathbf{\hat{b}}'\cdot \mathbf{\hat{t}} + \mathbf{\hat{t}}'\cdot \mathbf{\hat{b}} = 0 \\ \mathbf{\hat{b}}'\cdot \mathbf{\hat{n}} + \mathbf{\hat{n}}'\cdot \mathbf{\hat{b}} = 0 \\ \end{cases} \Rightarrow \quad \begin{cases} \mathbf{\hat{b}}'\cdot \mathbf{\hat{b}} = 0 \\ \mathbf{\hat{b}}'\cdot \mathbf{\hat{t}} = -\mathbf{\hat{t}}'\cdot \mathbf{\hat{b}} = 0 \\ \mathbf{\hat{b}}'\cdot \mathbf{\hat{n}} = -\mathbf{\hat{n}}'\cdot \mathbf{\hat{b}} = -k\\ \end{cases} \Rightarrow \quad \frac{d \mathbf{\hat{b}}}{ds} = - \tau \mathbf{\hat{n}} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Se la parametrizzazione regolare della curva non è l’ascissa curvilinea, si può ricavare

\[\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{ds}{dt}\frac{d\mathbf{r}}{ds} = v \mathbf{\hat{t}}\]

dove si è introdotto il modulo \(v\) di quella che sarà la velocità \(\mathbf{v}\) quando \(\mathbf{r}\) e \(t\) saranno spazio e tempo. In maniera analoga

\[\frac{d\mathbf{\hat{t}}}{dt} = \frac{ds}{dt}\frac{d\mathbf{\hat{t}}}{ds} = v k \mathbf{\hat{n}}\]

Se \(\mathbf{r}\) e \(t\) sono spazio e tempo, la velocità e l’accelerazione di un punto che ha come legge oraria \(\mathbf{r}(t)\) sono

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{v} & = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{ds}{dt}\frac{d\mathbf{r}}{ds} = v \mathbf{\hat{t}} \\ \mathbf{a} & = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{dv}{dt} \mathbf{\hat{t}} + v \frac{d\mathbf{\hat{t}}}{dt} = \frac{dv}{dt} \mathbf{\hat{t}} + v^2 k \mathbf{\hat{n}} \end{aligned}\end{split}\]

4.16.2.2. Ritorno al bilancio della quantità di moto.#

Inserendo la forma dell’accelerazione nell’equazione della quantità di moto e proiettando lungo i versori della terna di Frenet

\[\begin{split}\begin{cases} \rho \frac{dv}{dt} = \mathbf{\hat{t}} \cdot \left( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbb{T} + \mathbf{f} \right) \\ \rho v^2 k = \mathbf{\hat{n}} \cdot \left( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbb{T} + \mathbf{f} \right) \\ 0 = \mathbf{\hat{b}} \cdot \left( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbb{T} + \mathbf{f} \right) \\ \end{cases}\end{split}\]

L’analisi per componenti locali dell’equazione della quantità di moto permette di riconoscere che:

image

  • la proiezione del termine forzante lungo la tangente alla traiettoria è la responsabile dell’accelerazione tangenziale della particella materiale;

  • la proiezione del termine forzante lungo la normale alla traiettoria è la responsabile dell’accelerazione centripeta della particella maetriale e, di conseguenza, della curvatura della traiettoria;

  • la proiezione della forzante lungo la direzione binormale è nulla.

In assenza di forze di volume (\(\mathbf{f}=0\)) e sforzi viscosi (\(\mathbb{T}=\mathbb{S}-p\mathbb{I}=-p\mathbb{I}\)):

\[\begin{split}\begin{cases} \rho \frac{dv}{dt} = - \mathbf{\hat{t}} \cdot \mathbf{\nabla} p \\ \rho v^2 k = - \mathbf{\hat{n}} \cdot \mathbf{\nabla} p \\ 0 = - \mathbf{\hat{b}} \cdot \mathbf{\nabla} p \\ \end{cases}\end{split}\]

e quindi:

  • l’accelerazione tangenziale è proporzionale alla proiezione del gradiente di pressione in direzione tangente alla tratiettoria;

  • l’accelerazione centripeta, \(v^2/r = v^2 k\), è proporzionale alla proiezione del gradiente di pressione in direzione normale alla tratiettoria. Il termine \(\rho v^2 k\) è sempre positivo poichè prodotto di quantità positive: la curvatura di una linea è non negativa per come è definita, la densità è positiva, il modulo di un vettore è anch’esso non negativo. Il prodotto scalare tra la normale e il gradiente della pressione (derivata direzionale della pressione in direzione \(\mathbf{\hat{n}}\)) deve quindi essere negativo. La pressione quindi diminuisce, andando verso il centro del cerchio osculatore. Sempre dalla seconda equazione è immediato notare che la curvatura della traiettoria è proporzionale alla componente del gradiente di pressione lungo il versore normale;

  • la proiezione del gradiente di pressione in direzione binormale a una traiettoria è nullo.

4.16.3. Vorticità#

L’equazione della vorticità in coordinate euleriane è

\[\frac{\partial \mathbf{\omega}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\mathbf{\nabla}) \mathbf{\omega} = (\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{\nabla}) \mathbf{u} + \nu \mathbf{\Delta} \mathbf{\omega}\]

Se viene fatta l’ipotesi di viscosità nulla, il termine contenente il laplaciano della vorticità non compare nell’equazione: questo termine è il responsabile della diffusione (isotropa per come è scritto) della vorticità.

L’equazione può essere quindi riscritta come:

\[\frac{D\mathbf{\omega}}{Dt} = (\mathbf{\omega} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{u}\]

Scritta in componenti

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{D \omega_i}{D t} = \omega_k \frac{\partial u_i}{\partial x_k} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Il termine di destra può essere riscritto come

\[\begin{split}\begin{aligned} \omega_k \frac{\partial u_i}{\partial x_k} & = \omega_k \frac{\partial u_i}{\partial x_{0 l}} \frac{\partial x_{0 l}}{\partial x_k} = \qquad \qquad \left(u_i = \frac{D x_i}{D t}\right) \\ & = \omega_k \frac{D}{Dt} \left( \frac{\partial x_i}{\partial x_{0 l}} \right)\frac{\partial x_{0 l}}{\partial x_k} \end{aligned}\end{split}\]

Vale la relazione

\[\frac{\partial x_i}{\partial x_{0 l}} \frac{\partial x_{0 l}}{\partial x_k} = \delta_{ik}\]

Il termine di sinistra può essere riscritto come

\[\frac{D \omega_i}{Dt} = \frac{D}{Dt} \left(\delta_{ik} \omega_k \right) = \frac{D}{Dt} \left( \frac{\partial x_i}{\partial x_{0 l}} \frac{\partial x_{0 l}}{\partial x_k} \omega_k \right)\]

Inserendo nell’equazione della vorticità e sfruttando le proprietà della derivata del prodotto:

\[\begin{split}\begin{aligned} & \frac{D}{Dt} \left( \frac{\partial x_i}{\partial x_{0 l}} \frac{\partial x_{0 l}}{\partial x_k} \omega_k \right) - \omega_k \frac{D}{Dt} \left( \frac{\partial x_i}{\partial x_{0 l}} \right)\frac{\partial x_{0 l}}{\partial x_k} = 0 \\ & \frac{\partial x_i}{\partial x_{0 l}} \frac{D}{Dt} \left( \frac{\partial x_{0 l}}{\partial x_k} \omega_k \right) = 0 \end{aligned}\end{split}\]

Se la trasformazione non è singolare, risulta quindi

\[\frac{D}{Dt} \left( \frac{\partial x_{0 l}}{\partial x_k} \omega_k \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial x_{0 l}}{\partial x_k} \omega_k = \omega_{l 0}\]

e in conclusione, invertendo il gradiente della trasformazione delle coordinate

\[\label{eqn:bilanci:vorticitàLagrange} \omega_k = \frac{\partial x_k}{\partial x_{0 l}}\omega_{l 0} \qquad , \qquad \mathbf{\omega} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}_0} \mathbf{\omega}_0\]

Si può quindi notare che la vorticità segue la stessa evoluzione di un segmento infinitesimo materiale, per il quale vale:

\[d\mathbf{x} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}_0} d\mathbf{x}_0\]
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I più curiosi, cerchino «fornmula di Jacobi».