5.5.6. Exercise 5.6#
In un gioco d’acqua (\(\rho=999\ kg/m^3\)), un disco di diametro \(D=35\ cm\) viene sollevato da un getto che fuoriesce con velocità \(V_0=10\ m/s\) da un foro di diametro \(d_0=8\ cm\) concentrico all’asse del disco, cosìcome illustrato schematicamente in figura. Noto che in condizioni stazionarie la quota raggiunta dal disco è di poco superiore alla quota \(H=2\ m\), si richiede di determinare:
la velocità \(V_1\) e il diametro \(d_1\) del getto alla quota \(H\) supponendo trascurabili tra le sezioni \(0\) e \(1\) sia la curvatura delle linee di flusso che ogni forma di dissipazione;
lo spessore \(h\) del film d’acqua all’estremità del disco assumendo che il profilo di velocità radiale sia lineare con velocità massima \(V_2=V_1\).
la massa \(m\) del disco considerando trascurabili sia gli sforzi viscosi all’interfaccia tra l’atmosfera circostante (\(P_{atm}=101325\ Pa\)) e il getto d’acqua che la forza gravitazionale agente sul fluido tra la quota \(H\) e la quota del disco. \end{itemize}
Teorema di Bernoulli nell’ipotesi di stazionarietà, fluido incomprimibile, non viscoso, irrotazionale. Bilanci integrali.
Il primo punto viene risolto mettendo a sistema il teorema di Bernoulli e la continuità.
\[\begin{split}\begin{cases} \frac{1}{2} \rho V_0^2 = \frac{1}{2}\rho V_1^2(z) + \rho g H\\ V_0 d_0^2 = V_1 d_1^2 \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} V_1 = V_0\sqrt{1 - 2 g H / V_0^2} \\ d_1 = \displaystyle\left[1 - \frac{2 g H}{V_0^2}\right]^{-\frac{1}{4}} d_0 \end{cases}\end{split}\]Il secondo punto viene risolto utilizzando solamente il bilancio di massa.
\[Q = \frac{\pi}{4} \rho V_0 d_0^2 = \frac{\pi}{4} \rho V_1 d_1^2 = \frac{\pi}{2} D h V_2 \qquad \Rightarrow \qquad h = \frac{d_1^2}{2 D}\]Il terzo punto viene risolto applicando il bilancio della quantità di moto in direzione verticale per trovare la forza applicata dal disco al fluido. Infine si scrive l’equilibrio del disco soggetto alla stessa forza con verso opposto (principio di azione e reazione) e al proprio peso.
Dal bilancio si ottiene che la componente verticale della forza che si scambiano fluido e disco è uguale a \(\rho V_1^2 \frac{\pi}{4} d_1^2\). La massa del disco è quindi \(m = \frac{\pi}{4} d_1^2 \frac{\rho V_1^2}{g}\)