1.8.5. Exercise 1.5

Exercise 1.5

La leva idraulica, rappresentata in figura, é formata da due sistemi cilindro-pistone. Determinare la forza che é necessario applicare al secondo pistone per mantenere il sistema in equilibrio quando sul primo agisce una forza \(F_1 = 5000\ N\), allorch’e i pistoni si trovano nella posizione indicata in figura.

Dati: diametro primo cilindro: \(d_1 = 0.2\ m\); diametro secondo cilindro: \(d_2 = 0.4\ m\); diametro del condotto che unisce i due cilindri: \(0.025\ m\); densità del fluido di lavoro: \(600\ kg/m^3\); altezza del primo pistone \(h_1 = 1\ m\), altezza del secondo pistone \(h_2=2\ m\).

(\(p_1=159155\ Pa\), \(p_2=153269\ Pa\), \(\mathbf{F}_2=-19260.3 \hat{\mathbf{z}}\ N\).)

Concetti. Legge di Stevino. Risultante statica. Leva idraulica.

Svolgimento. Il problema si risolve scrivendo le condizioni di equilibrio tra le forze esterne e la risultante dello sforzo di pressione sulle facce opposte dei pistoni e applicando la legge di Stevino tra le due sezioni \(A_1\) e \(A_2\). Si ottiene un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite \(p_1, p_2, F_2\)),

\[\begin{split}\begin{cases} F_1 = p_1 \pi \dfrac{d_1 ^2}{4} & \text{(Equilibrio pistone 1)} \\ p_2 = p_1 - \rho g (h_2 - h_1) & \text{(Legge di Stevino)} \\ F_2 = p_2 \pi \dfrac{d_2 ^2}{4} & \text{(Equilibrio pistone 2)} \ , \end{cases}\end{split}\]

la cui soluzione è

\[\begin{split}\Rightarrow \quad \begin{cases} p_1 = \dfrac{4}{\pi} \dfrac{F_1}{d_1^2} & = 159155 Pa \\ p_2 = \dfrac{4}{\pi} \dfrac{F_1}{d_1^2} - \rho g (h_2 - h_1) & = 153269 Pa \\ F_2 = \dfrac{d_1^2}{d_2^2} F_1 - \dfrac{\pi}{4}d_2^2 \ \rho g (h_2 - h_1) & = 19260.3 N \ . \end{cases}\end{split}\]

La componente verticale \(F_2\) della forza \(\mathbf{F_2}\) è positiva diretta verso il basso, come nel disegno. Si può scrivere quindi \(\mathbf{F_2} = - F_2 \mathbf{\hat{z}}\), se il versore \(\mathbf{\hat{z}}\) è orientato verso l’alto.