4.20. Exercises#
Si consideri una rete idraulica come quella rappresentata in figura. All’interno dei tubi scorre acqua. Sia nota le velocit`a media dell’acqua all’interno di alcuni dei rami della rete: \(U_1 = 1\, m/s\), \(U_2 = 1.5\, m/s\), \(U_3 = 0.5\, m/s\), \(U_7 = 2\, m/s\) e \(U_8 = 0.3\, m/s\). Il verso della velocit`a è indicato dalle frecce sul disegno. Determinare la portata volumetrica, la portata in massa e la velocit`a media all’interno di ciascun ramo della rete sapendo che l’acqua ha una densit`a pari a \(\overline{\rho} = 999\ kg/m^3\), e che il diametro dei tubi `e rispettivamente \(D_1=0.4\ m\), \(D_2=0.2\ m\), \(D_3=0.2\ m\), \(D_4=0.3\ m\), \(D_5=0.5\ m\), \(D_6=0.25\ m\), \(D_7=0.3\ m\), \(D_8=0.6\ m\).
(\(Q_1 = 0.13\ m^3/s\), \(Q_2 = 0.05\ m^3/s\), \(Q_3 = 0.02\ m^3/s\), \(Q_4 = 0.13\ m^3/s\), \(Q_5 = 0.06\ m^3/s\), \(Q_6 = 0.13\ m^3/s\), \(Q_7 = 0.14\ m^3/s\), \(Q_8 = 0.08\ m^3/s\), \(U_1 = 1 \ m/s\), \(U_2 = 1.5\ m/s\), \(U_3 = 0.5\ m/s\), \(U_4 = 1.87\ m/s\), \(U_5 = 0.29\ m/s\), \(U_6 = 2.69\ m/s\), \(U_7 = 2 \ m/s\), \(U_8 = 0.3\ m/s\), \(\overline{Q}_1 = 125.5\ kg/s\), \(\overline{Q}_2 = 47.08\ kg/s\), \(\overline{Q}_3 = 15.69\ kg/s\), \(\overline{Q}_4 = 131.8\ kg/s\), \(\overline{Q}_5 = 54.49\ kg/s\), \(\overline{Q}_6 = 131.8\ kg/s\), \(\overline{Q}_7 = 141.2\ kg/s\), \(\overline{Q}_8 = 84.74\ kg/s\))
Si sta riempiendo una bombola per immersioni subacquee. Sapendo che la pompa aspira aria a pressione ambiente di \(1.01\times10^5\ Pa\) e alla temperatura di \(293\ K\) in un condotto di sezione \(1\ cm^2\) in cui la velocit`a media `e di \(0.5\ m/s\) e che non ci sono perdite nel sistema di pompaggio, determinare la rapidit`a di variazione della massa d’aria e della sua densit`a all’interno della bombola, sapendo che il volume della bombola `e pari a \(0.02 \ m^3\).
(\(\frac{dM}{dt} = 6.01 \times 10^{-5}\ kg/s, \frac{d \rho}{d t} = 3.00 \times 10^{-3}\ kg/(m^3 s)\)).
Un getto d’acqua (\(\rho=999\ kg/m^3\)) stazionario, piano e orizzontale viene indirizzato su un cilindro, lambendone la superficie e venendo deviato di un angolo \(\alpha =15^\circ\). Determinare la forza agente su una porzione del cilindro di lunghezza pari a \(H = 2\ m\), dovuta sia al getto d’acqua, sia all’aria circostante, sapendo che: \begin{itemize} \item il fluido che circonda il getto e il cilindro `e aria in quiete a pressione atmosferica di \(101325\ Pa\); \item la larghezza del getto `e \(h=2\ cm\); \item la portata d’acqua per unit`a di lunghezza nel getto `e \(Q = 199\ kg\ m^{-1}\ s^{-1}\). \end{itemize} Sufficientemente lontano dal cilindro, il profilo di velocità sulle sezioni del getto è uniforme. Illustrare tutte le ipotesi semplificative adottate nella risoluzione dell’esercizio.
(\(\mathbf{F} = 1026\ \hat{\mathbf{x}} - 135\ \hat{\mathbf{y}} \ N\))
Un getto d’acqua (\(\rho=999\ kg/m^3 \)) stazionario, piano e verticale viene indirizzato su un oggetto di massa \(M\), tenuto da esso in equilibrio. Il getto ha distribuzione di velocità uniforme \(U\) lungo lo spessore \(H\), mentre la distribuzione sul bordo dell’oggetto è triangolare di spessore \(h\) con velocità massima \(V\). Si calcoli la velocità \(V\) e la massa \(M\) dell’oggetto supponendo che: \begin{itemize} \item il fluido che circonda il getto e il solido `e aria in quiete a pressione atmosferica di \(P_a = 101325\ Pa\); \item si possa trascurare la gravità nel bilancio di quantità di moto, ma non nell’equilibrio del corpo. \end{itemize}
(\(V = U H / h ; M = \rho U^2 H / g\))
Il motore a getto in figura è alimentato con una portata \(\dot{m}_c = 1.1\ kg/s\) di carburante liquido iniettato in direzione ortogonale all’asse del motore. Calcolare la spinta \(T\) del motore ipotizzando che:
il carburante vaporizzi e diffonda completamente;
le sezioni di ingresso e uscita abbiano area uguale e pari ad \(A = 0.5\ m^2\);
sia l’aria in ingresso che i gas di scarico siano a pressione atmosferica \(P_{atm}=26400\ Pa\);
la velocità di ingresso e di uscita siano uniformi sulle rispettive sezioni;
siano note la densità dell’aria in ingresso \(\rho_1 = 0.42\, kg/m^3\), la velocità di ingresso \(V_1 = 240\ m/s\) e la velocità di efflusso \(V_2 = 980\ m/s\).
(\(T = -38374\hat{\mathbf{x}}\ N\))
Un condotto di sezione circolare avente diametro \(D = 5\ cm\) forma un gomito con angolo di \(90^\circ\). Nel condotto scorre acqua (\(\rho = 999\ kg/m^3\)) in regime stazionario con velocità \(V = 0.5\ rm m/s\). All’esterno del condotto vi è atmosfera con pressione uniforme \(P_{atm}=101325\ Pa\); inoltre le pressioni all’ingresso e all’uscita del gomito sono uniformi sulla sezione ed entrambe pari a \(P=10^6\ Pa\). Calcolare la forza \(\mathbf{F}\) agente sul gomito.
(\(\mathbf{F} = -1765.03\hat{\mathbf{x}} + 1765.03\hat{\mathbf{y}}\ N\))
Si consideri la corrente stazionaria nel gomito a 90\(\,^\circ\) di una galleria a vento a circuito chiuso di cui è mostrata in figura la sezione nel piano \(x\)–\(y\). Siano assegnate le aree della sezione di ingresso, \(S_1 = 16 \ m^2\), e di uscita, \(S_2 = 56 \ m^2\), la portata in volume \(Q_1 = 1600 \ m^3/s\) e le pressioni nella sezione di ingresso, \(P_1 = 1.05 \ bar\), e nella sezione di uscita, \(P_2 = 1.106 \ bar\). Assumendo che il flusso d’aria sia incomprimibile (\(\rho = 1.225\ kg/m^3\)) e che la velocità sulle sezioni di ingresso e uscita possa ritenersi uniforme, si determinino le componenti \(F_x\) ed \(F_y\) della spinta che esso esercita sul gomito, usando la convenzione indicata in figura.
(\(F_x = 1.876\,10^6\ N\), \(F_y = -6.251\,10^6\ N\))
Un numero elevato di profili è disposto come in figura. Il profilo di ingresso è uniforme \(\mathbf{u} = U_\infty \mathbf{\hat{x}}\), mentre il profilo di uscita ha andamento \(\mathbf{u} = \beta U_\infty (\cos \theta \mathbf{\hat{x}} - \sin \theta \mathbf{\hat{y}}) \sin{\frac{\pi \eta}{H}}\) in ogni canale (sia \(\eta\) la coordinata che descrive la sezione di uscita). Sulla sezione di ingresso la pressione media vale \(P_1\), sulla sezione di uscita \(P_2\).
Calcolare il fattore \(\beta\) del profilo di velocità in uscita e la risultante delle forze (per unità di apertura) agente sul singolo profilo.
(Risultati: \(\beta = \frac{\pi}{2 \cos \theta}, \mathbf{F} = [(P_1 - P_2) H + \rho U^2 H ((1-\pi^2/8) ]\mathbf{\hat{x}} + \pi^2/8 \tan \theta \mathbf{\hat{y}}) \))
Calcolare la resistenza di un profilo immerso in una corrente stazionaria con velocità asintotica \({\mathbf{V}}_\infty\), sapendo la distribuzione della componente di velocità \(u(y)\) parallela a \({\mathbf{V}}_\infty\) a valle del profilo e assumendo che:
la pressione statica sul contorno del volume di controllo sia costante e pari a quella della corrente indisturbata a monte del profilo;
sul lato superiore e inferiore del volume di controllo sia possibile trascurare la componente lungo l’asse \(x\) della perturbazione della velocit`a dovuta alla presenza del profilo:
\[ \mathbf{V} = (V_{\infty}+u,v) \simeq (V_{\infty},v). \]
(\(R = \int_0^{ H}\rho \, u(y) [V_{\infty}-u(y)] dy.\))
Viene dato l’irrigatore rappresentato in figura, del quale sono note le sue dimensioni geometriche, \(R_0\), \(R_1\), \(\ell\), \(h\). L’irrigatore è libero di ruotrare attorno all’asse \(z\). Si conosce la densità del fluido \(\rho\) e la velocità ``di ingresso”” \(U_0\) uniforme sulla sezione \(S_0\). Supponendo
la pressione uniforme sulle sezioni \(S_0\), \(S_1\), \(S_2\) e uguale alla pressione atmosferica dell’aria attorno all’irrigatore
la \textbf{velocità relativa} rispetto al moto dell’irrigatore uniforme sulle sezioni \(S_1\), \(S_2\),
gli effetti gravitazionali trascurabili
viene chiesto di calcolare la velocità \(V\) e la velocità di rotazione dell’irrigatore \(\Omega\), a regime.
Viene chiesto di determinare la potenza dei motori della galleria a circuito aperto rappresentata in figura, sapendo che la velocità massima desiderata nella sezione di prova è \(V_{test} = 30 \, m/s\), l’area della sezione di prova è \(A_{test} = 1.0 \, m^2\) e l’area della sezione in cui è alloggiato il ventilatore che mette in moto l’aria è \(A_{fan} = 2.0 \, m^2\). Si supponga che la corrente sia incomprimibile e che la densità dell’aria sia \(\rho = 1.1 \, kg/m^3\). In una prima fase, si trascuri la caduta di pressione attraverso il nido d’ape e gli schermi presenti tra la sezione 1 e la sezione 2 del condotto. Successivamente si ripeta il calcolo con una caduta di pressione \(P_1 - P_2 = k \rho U^2\), con \(k = \dots\).
Il funzionamento di un motore alternativo a benzina (a quattro tempi) può essere rappresentato in prima approssimazione con un ciclo termodinamico Otto ideale, rappresentato da una compressione adiabatica, una fase veloce di combustione a volume costante (nel punto morto superiore del moto del pistone, PMS) e un’espansione adiabatica. Le fasi di aspirazione e scarico dei gas combusti sono anch’essi ideali. L’aspirazione avviene a pressione costante durante il movimento del pistone dal PMS al punto morto inferiore (PMI). La fase di scarico avviene in due fasi: durante la prima fase la pressione diminuisce molto velocemente (approssimata da una trasformazione a volume costante) a causa dell’apertura della valvola di scarico quando il pistone si trova al PMI; durante la seconda fase i gas combusti sono spinti fuori dalla camera di combustione dal movimento ascendente del pistone che si riporta al PMS, per l’inizio del ciclo termodinamico successivo. Del motore sono noti:
il rapporto di compressione, definito come il rapporto tra il volume massimo (pistone al PMI) e minimo (pistone al PMS) della camera di combustione, \(r = V_1 / V_2 = 10\);
la cilindrata, definita come la corsa del pistone per l’area della sezione del cilindro, e uguale alla differenza \(C = N (V_2 - V_1) = 1000 \ cc\), essendo \(N\) il numero di cilindri del motore;
le condizioni termodinamiche dell’aria all’aspirazione \(P_0 = 85570 \, Pa\), \(T_0 = 25°C\);
il rapporto in massa tra benzina e aria, \(f = m_f / m_a = 0.06\);
il potere calorifico della benzina usata \(\Delta h = 43 \, MJ\);
la pressione nel basamento del motore, \(p_{b} = 150000 \, Pa\) uniforme e costante.
Si calcoli la potenza media erogata dal motore a un regime di rotazione di \(\Omega = 3000 RPM\), assumendo un rendimento meccanico \(\eta = 0.8\). Si rappresenti l’aria come un gas bi-atomico perfetto (\(\gamma = c_P/ c_v = 1.4\)) con costante dei gas \(R = 287 J / (kg \, K)\), e si trascuri l’effetto del carburante sul valore dei calori specifici e sulla massa presente all’interno della camera di combustione. Si trascurino inoltre gli scambi di calore per conduzione con l’esterno del cilindro durante la compressione e l’espansione (trasformazioni adiabatiche). Si trascurino i termini cinetici nell’energia totale in camera di combustione, facendo coincidere l’energia totale con l’energia interna \(e^t = e = c_v T\), e si assuma che le variabili termodinamiche siano uniformi (costanti in spazio, non in tempo) in camera di combustione.
Un aereo vola alla velocità \(V=250 \, m/s\) alla quota \(z=10000 \, m\), dove la pressione e la temperatura atmosferica sono \(P_0 = 26500 \, Pa\) e \(T_0 = 223.25 \, K\), spinto dal motore a getto rappresentato in figura. Sapendo che:
\(0 \rightarrow 1\): la presa d’aria è progettata per ottenere una compressione adiabatica ideale (isentropica), con \(P_1/P_0 = 1.5\);
\(1 \rightarrow 2\): il compressore ideale ha una sezione di ingresso \(A_1 = \dots\) e produce un rapporto di pressione totale \(P_2^t/P_1^t = 40.0\), tramite una trasformazione adiabatica ideale;
\(2 \rightarrow 3\): il combustore garantisce una perfetta combustione mantenendo costante la pressione totale al suo interno \(P_2^t = P_3^t\); il flusso di calore prodotto dalla combustione è uguale a \(\dot{Q}_c = \dot{m}_f \Delta h_c\), dove \(\dot{m}_f\) è il flusso di massa di combustibile e \(\Delta h_c = 46 \, MJ/kg\) il suo potere calorifico; la temperatura totale all’ingresso della turbina è \(T_4^t = 1600 \, K\);
\(3 \rightarrow 4\): nella turbina avviene un’espansione adiabatica ideale, in modo tale da garantire la potenza necessaria a mantenere in moto il compressore;
\(4 \rightarrow 5\): nell’ugello avviene un’espansione adiabatica ideale, che porta il gas a espandersi fino alla pressione ambiente \(P_5 = P_0\).
Si considerino tutti i componenti meccanici ideali, si trascurino gli effetti viscosi dove possibile e si consideri l’aria e la miscela di gas combusti come un gas biatomico ideale, con costante dei gas \(R = 287 \, J/(kg \, K)\) e calori specifici costanti.
Viene chiesto di calcolare:
il rapporto in massa tra flusso di combustibile e flusso di aria, \(f = \dot{m}_f / \dot{m}_a\);
la spinta \(T\) fornita dal motore.
