4.20.9. Exercise 4.9#
Calcolare la resistenza di un profilo immerso in una corrente stazionaria con velocità asintotica \({\mathbf{V}}_\infty\), sapendo la distribuzione della componente di velocità \(u(y)\) parallela a \({\mathbf{V}}_\infty\) a valle del profilo e assumendo che:
la pressione statica sul contorno del volume di controllo sia costante e pari a quella della corrente indisturbata a monte del profilo;
sul lato superiore e inferiore del volume di controllo sia possibile trascurare la componente lungo l’asse \(x\) della perturbazione della velocit`a dovuta alla presenza del profilo:
\[ \mathbf{V} = (V_{\infty}+u,v) \simeq (V_{\infty},v). \]
(\(R = \int_0^{ H}\rho \, u(y) [V_{\infty}-u(y)] dy.\))
Concetti. Bilanci integrali di massa e quantità di moto. Equazioni di equilibrio (equazioni fondamentali della dinamica classica). Principio di azione e reazione. Integrale della normale su una superficie chiusa è identicamente nullo. Esperienza in laboratorio sul difetto di scia.
Svolgimento. Vengono scritti i bilanci integrali di massa e quantità di moto, opportunamente semplificati (ipotesi di stazionarietà \(\frac{d}{dt} \equiv 0\), densità costante \(\rho = \bar{\rho}\), ipotesi sulle condizioni sul bordo esterno del dominio); all’interno dei bilanci si possono riconoscere i termini legati alle azioni scambiate dal fluido con il profilo (l’incognita del problema); si sfrutta infine la geometria rettangolare del contorno esterno e le ipotesi su di esso per ottenere una forma ulteriormente semplificata dei bilanci e trovare la soluzione del problema.
Scrittura e semplificazione dei bilanci di massa e quantità di moto.
\[\begin{split}\begin{cases} \frac{d}{d t} \int_{\Omega} \rho + \oint_{\partial \Omega} \rho \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 & \qquad \text{(massa)} \\ \frac{d}{d t} \int_{\Omega} \rho \mathbf{u} + \oint_{\partial \Omega} \rho \mathbf{u} \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} + \oint_{\partial \Omega} p \hat{\mathbf{n}} - \oint_{\partial \Omega} \mathbf{s_n} = 0 & \qquad \text{(quantità di moto)} %\Rb^{ext} \end{cases}\end{split}\]Nel problema, il controno del dominio fluido \(\partial \Omega\) è costituito dal bordo rettangolare \(\gamma_\infty\) lontano dal profilo e dal bordo \(\gamma_p\) coincidente con il profilo stesso. La forza \(\mathbf{F}\) agente sul profilo è l’integrale degli sforzi generati dal fluido (uguali e contrari agli sforzi agenti sul fluido) sul contorno del profilo. Inoltre si può fare l’ipotesi di sforzi viscosi nulli e pressione costante sul bordo esterno: l’integrale sul dominio esterno si riduce all’integrale della normale su una superficie chiusa ed è quindi nullo. Si può dunque scrivere:
\[\oint_{\partial \Omega} (-p \hat{\mathbf{n}} + \mathbf{s_n}) = \oint_{\partial \Omega} \mathbf{t_n} = \underbrace{\oint_{\gamma_p} \mathbf{t_n}}_{=-\mathbf{F}} + \underbrace{\oint_{\gamma_\infty} \mathbf{t_n}}_{=0} = -\mathbf{F}\]Osservazione. A differenza di quanto fatto in classe, non è stata fatta l’ipotesi di fluido non viscoso; il contributo all’infinito si annulla con l’ipotesi di pressione costante all’infinito e sforzi viscosi trascurabili. Per ritrovarsi con gli appunti, sostituire \(\mathbf{t_n}\) con \(-p\mathbf{\hat{n}}\).
Dopo aver fatto l’ipotesi di stazionarietà e aver inserito la definizione di \(\mathbf{F}\) appena data, le equazioni di bilancio possono essere scritte come:
\[\begin{split}\begin{cases} & \oint_{\partial \Omega} \rho \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \\ & \mathbf{F} = - \oint_{\partial \Omega} \rho \mathbf{u} \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} \end{cases} \label{eqn:airfoil_bil_int}\end{split}\]Il bilancio di quantità di moto può essere scritto esplicitando e separando le componenti vettoriali.
\[\begin{split}\begin{aligned} F_x\mathbf{\hat{x}} + F_y\mathbf{\hat{y}} & = - \oint_{\partial \Omega} \rho (u \mathbf{x} + v \mathbf{y}) \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} \\ & = - \mathbf{\hat{x}} \oint_{\partial \Omega} \rho u \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} - \mathbf{\hat{y}} \oint_{\partial \Omega} \rho v \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} \end{aligned}\end{split}\]Scrittura delle equazioni di bilancio in componenti (sfruttando la geometria rettangolare del bordo esterno: \(\gamma_1\) indica il bordo di sinistra, \(\gamma_2\) il bordo inferiore, \(\gamma_3\) quello di destra, \(\gamma_4\) quello superiore).
Attenzione: la normale è quella uscente dal dominio fluido. Sul contorno del profilo, la normale è entrante nel profilo. In più: non fare confusione tra azioni del profilo agenti sul fluido e azioni del fluido agenti sul profilo!
\[\begin{split}\begin{cases} & 0 = \oint_{\partial \Omega} \rho \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} = -\int_{\gamma_1} \rho u -\int_{\gamma_2} \rho v +\int_{\gamma_3} \rho u +\int_{\gamma_4} \rho v \\ & F_x = +\int_{\gamma_1} \rho u^2 +\int_{\gamma_2} \rho u v -\int_{\gamma_3} \rho u^2 -\int_{\gamma_4} \rho u v \\ & F_y = +\int_{\gamma_1} \rho u v +\int_{\gamma_2} \rho v^2 -\int_{\gamma_3} \rho u v -\int_{\gamma_4} \rho v^2 \end{cases}\end{split}\]Ipotesi sulla velocità sui lati orizzontali (\(u|_{\gamma_2} = u|_{\gamma_4} = V_\infty\) costante), per poter ulteriormente semplificare il risultato.
\[\begin{split}\begin{cases} \int_{\gamma_2} \rho v -\int_{\gamma_4} \rho v = -\int_{\gamma_1} \rho u+\int_{\gamma_3} \rho u\\ F_x = +\int_{\gamma_1} \rho u^2 -\int_{\gamma_3} \rho u^2 + V_\infty \left[ \int_{\gamma_2} \rho v -\int_{\gamma_4} \rho v \right] \end{cases}\end{split}\]E inserendo la prima nella seconda:
\[\begin{split}\begin{aligned} F_x & = \int_{\gamma_1} \rho u^2 -\int_{\gamma_3} \rho u^2 + V_\infty \left[-\int_{\gamma_1} \rho u+\int_{\gamma_3} \rho u \right] = \\ & = \int_{\gamma_1} \rho u (u-V_\infty) + \int_{\gamma_3} \rho u (V_\infty-u) = \quad \text{($u|_{\gamma_1} = V_\infty \Rightarrow $ il primo integrale è nullo)} \\ & = \int_{\gamma_3} \rho u (V_\infty-u) = \\ & = \int_{0}^{H} \rho u(y) (V_\infty - u(y)) dy \end{aligned} \label{eqn:difetto_scia}\end{split}\]
Osservazioni. Tramite la misura del campo di velocità in galleria è possibile stimare la resistenza del corpo. Le condizioni di «aria libera» e in galleria sono diverse. In generale, in galleria il fluido è confinato dalle pareti di galleria, maggiormente «vincolato». Inoltre sulle pareti della galleria esiste una condizione di adesione, \(\mathbf{u}=\mathbf{0}\): per la conservazione della massa, il rallentamento del fluido in corrispondenza delle pareti della galleria viene compensato da un incremento della velocità nella regione «più lontana» dalla parete, rispetto a un corpo in aria libera. Per tenere conto di effetti di bloccaggio dovuti al confinamento in galleria, è necessario compiere delle correzioni delle misure sperimentali. Agli effetti di bloccaggio, vanno aggiunti gli effetti di galleggiamento dovuti al gradiente di pressione lungo la galleria, che danno un effetto di resistenza aggiuntiva. Inoltre è importante che la dimensione del corpo rispetto alla dimensione della galleria non sia né «troppo grosso» (per problemi di “bloccaggio”), né, di solito, «troppo piccolo» (per motivi di similitudine; ma sarà argomento di puntate successive del corso…). É importante avere in mente la necessità di prestare attenzione a questi aspetti, quando vengono svolte attività sperimentali. Ma questo sarà argomento di altri capitoli o di altri corsi…