3.5.3. Exercise 3.3#
Sia dato il campo di moto
Calcolare l’equazione delle linee di corrente, delle traiettorie e delle linee di fumo (curve di emissione) e disegnarle.
Suggerimento. Le componenti \(x\) e \(y\) del sistema sono accoppiate tra di loro. Risolvendo il sistema per le linee di corrente, $\(\begin{cases} \dfrac{dX}{dp} = \lambda(p) 3Y \\ \dfrac{dY}{dp} = -\lambda(p) 3X \\ \dfrac{dZ}{dp} = \lambda(p) t \ , \end{cases} \quad \rightarrow \quad \begin{cases} X(p) \dfrac{dX}{dp} + Y(p) \dfrac{dY}{dp} = 0 \\ \dfrac{dZ}{dP} = \lambda(p) t \ . \end{cases}\)\( Integrando la prima, si ottiene l'equazione di una criconferenza \)X(p)^2 + Y(p)^2 = R^2\( (con \)R^2 = X(p_0)^2 + Y(p_0)^2\(, descrivibile in forma paramterica come \)\(\begin{cases} X(p) = R \cos(p) \\ Y(p) = R \sin(p) \ . \end{cases}\)\( Con la parametrizzazione scelta, è possibile ricavare la relazione \)\lambda(p) = -1/3\( e integrare l'equazione per la componente \)Z$.
Per il calcolo dell’equazione che descrive le triettorie delle particelle materiali e le linee di fumo, la soluzione del problema di Cauchy $\(\begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = 3y(t) & x(t_0) = x_0 \\ \dfrac{dy}{dt} = -3x(t) & y(t_0) = y_0 \\ \dfrac{dz}{dt} = t & z(t_0) = z_0 \ , \end{cases}\)\( ha la forma \)\(\begin{cases} x(t,\bm{r_0},t_0) = A \sin(3t) - B \cos(3t) \\ y(t,\bm{r_0},t_0) = A \cos(3t) + B \sin(3t) \\ z(t,\bm{r_0},t_0) = z_0 + \dfrac{t^2 - t_0^2}{ 2 } \ . \\ \end{cases}\)\( Le costanti di integrazione mancanti \)A\(, \)B\( vengono calcolate imponendo le condizioni iniziali, \)\(A = y_0 \cos(3t_0) + x_0 \sin(3t_0) \quad , \quad B = y_0 \sin(3t_0) - x_0 \cos(3t_0) \ ,\)\( e la soluzione del problema in forma parametrica può essere riscritta come \)\(\begin{cases} x(t,\bm{r_0},t_0) = x_0 \cos(3(t-t_0)) + y_0 \sin(3(t-t_0)) \\ y(t,\bm{r_0},t_0) =-x_0 \sin(3(t-t_0)) + y_0 \cos(3(t-t_0)) \\ z(t,\bm{r_0},t_0) = z_0 + \dfrac{t^2 - t_0^2}{ 2 } \ . \\ \end{cases}\)$