7.14.3. Exercise 7.3

Exercise 7.3

Un aeromobile vola nell’alta atmosfera a velocità costante \(V_v=252\ m/s\), in condizioni di densit`{a} \(\rho_v\) e temperatura \(T_v\) assegnate: \(\rho_v = 0.424\ kg/m^3\), \(T_v = -50.3^\circ C\).

\newline Determinare la velocit`{a}, la densit`{a} e la pressione dell’aria da utilizzarsi in una galleria del vento pressurizzata che operi alla temperatura di \(15^\circ {\rm C}\) per ottenere la similitudine dinamica corretta con un modello in scala ridotta \(\lambda = 0.2\).

(\(V_m = 286.6\ m/s\), \(\rho_m = 2.292\ kg/m^3\), \(p_m= 189560\ Pa\))

Similitudine fluidodinamica: numeri di Reynolds e di Mach.

\[Re = \frac{\rho U L}{\mu} \quad , \quad M = \frac{U}{c} \ .\]

Formula di Sutherland per la viscosità dinamica dei gas,

\[\mu(T) = \mu_0 \displaystyle\left(\frac{T}{T_0}\right)^{1.5} \frac{C+T_0}{C+T} \ .\]

Assumendo che l’aria si comporti come gas ideale, per il quale vale l’equazione di stato \(p = \rho R T\), la velocità del suono vale \(c = \sqrt{\gamma R T}\), dove \(\gamma = c_p / c_v\) è il rapporto dei calori specifici a pressione e volume costante, che vale \(\gamma = 1.4\) per un gas biatomico. La costante del gas \(R\) è definita come il rapporto tra la costante universale dei gas \(\mathscr{R}\) e la massa molare \(M_m\), \(R = \mathscr{R}/M_m\). La massa molare dell’aria secca vale \(M_m = 28.96 \ kg / kmol\) e la sua costante \(R\) vale

\[R = \dfrac{\mathscr{R}}{M_m} = \dfrac{8314.4 \ J / (kmol \ K)}{28.97 \ kg/kmol} = 287.0 \dfrac{J }{kg \ K} \ .\]

La velocità del suono nell’aria alle condizioni termodinamiche del problema vale \(c = 299.2 \ m/s\). Il numero di Mach caratteristico della corrente è quindi \(M=0.84\) e gli effetti di comprimibilità non possono essere trascurati, poichè il numero di Mach è maggiore della valore convenzionale \(0.3\) che identifica il limite della validità dell’approssimazione di fluido incomprimibile. Per ottenere la similitudine tra problema reale e quello modellato (di dimensioni ridotte) è necessaria la similitudine geometrica e l’uguaglianza dei numeri adimensionali che caratterizzano il problema, il numero di Reynolds \(Re\) e il numero di Mach \(M\).

\[\begin{split}\begin{cases} M_1 = M_2 \\ Re_1 = Re_2 \end{cases} \ .\end{split}\]

Utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti,

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{V_v}{\sqrt{\gamma R T_v}} = \dfrac{V_m}{\sqrt{\gamma R T_m}} \\ \dfrac{\rho_v V_v L_v}{\mu(T_v)} = \dfrac{\rho_m V_m L_m}{\mu(T_m)} \end{cases}\end{split}\]

Risolvendo il sistema, si ottiene l’espressione delle incognite:

\[\begin{split}\Rightarrow \begin{cases} V_m = V_v \sqrt{\frac{T_m}{T_v}} \\ \rho_m = \frac{1}{\lambda} \rho_v \sqrt{\frac{T_v}{T_m}} \frac{\mu(T_m)}{\mu(T_v)} \\ P_m = \rho_m R T_m = \frac{1}{\lambda} \frac{\mu(T_m)}{\mu(T_v)} \rho_v R \sqrt{T_v T_m} \end{cases}\end{split}\]

Per trovare i valori ancora incogniti della viscosità dinamica si usa la formula di Sutherland: per l’aria i coefficienti sono \(T_0 = 288 K\), \(C = 110.4 K\). Si ottengono i valori numerici \(V_m = 286.6 \ m/s\), \(\rho_m = 2.292 \ kg/m^3\), \(p_m = 189560 \ Pa\).