6.5.5. Exercise 6.5#
Un manometro a mercurio (\(\rho_{hg} = 13610 \ kg/m^3\)) collega due prese di pressione posizionate a una distanza di \(l = 2 \ m\) l’una dall’altra lungo un tubo orizzontale di diametro \(2R = 5 \ cm\) in cui scorre un fluido con densità \(\rho_{f} = 950 \ kg/m^3\). Se la differenza fra le altezze dei peli liberi del liquido manometrico nelle due colonne vale \(\Delta h = 4 \ cm\) e la portata volumetrica che scorre nel tubo è \(Q= 6\ m^3/s\), quanto valgono la viscosità \(\mu\) del fluido e lo sforzo a parete \(\tau_w\)?
(\(\mu = 6.36\,10^{-5} \ kg/(m\, s)\), \(\tau_w = 31.05\, \mathbf{z}\ N/m^2\))
Semplificazione delle equazioni di NS in casi particolari. Soluzioni esatte in coordinate cilindriche. Legge di Stevino.
Scrittura del contributo viscoso del vettore sforzo come:
La geometria del problema suggerisce di utilizzare un sistema di coordiante cilindriche.
Scrittura delle equazioni di NS in coordinate cilindriche
con
Semplificazione delle equazioni di NS per il problema considerato. Vengono fatte le sequenti ipotesi:
problema stazionario: \(\dfrac{\partial}{\partial t} = 0\);
direzione z omogenea (canale infinito in direzione z): \(\dfrac{\partial u}{\partial z} = \dfrac{\partial v}{\partial z} = 0\); come discusso negli esercizi in geometria cartesiana, il termine \(\dfrac{\partial P}{\partial z} = - G_P\) è costante e in generale diverso da zero.
problema assialsimmetrico: \(\dfrac{\partial}{\partial \theta} = 0\);
no swirl: \(u_{\theta} = 0\);
dall’incomprimibilità e dalle condizioni al contorno a parete, segue che la componente radiale della velocità è identicamente nulla, \(u_r = 0\);
no forze di volume: \(\mathbf{f} = 0\).
Grazie alle ipotesi fatte, il campo di velocità assume la forma \(\mathbf{u}(\mathbf{r}) = u(r) \mathbf{\hat{z}}\). La componente radiale e azimuthale dell’equazione della quantità di moto sono identicamente soddisfatte, mentre la componente lungo \(z\) diventa
\[\begin{split}\begin{cases} \mu \dfrac{1}{r} \dfrac{d}{dr}\left( r \dfrac{d}{dr} u(r)\right) = -G_P & r \in[0,R] \\ u(0) = \text{valore finito} \\ u(R) = 0 \end{cases}\end{split}\]dove la derivata ordinaria \(\dfrac{d}{d r}\) è stata utilizzata al posto della derivta parziale, poichè la componente assiale della velocità dipende solamente dalla coordinata radiale, \(u(r)\). Le condizioni al contorno garantiscono che il campo di velocità sia regolare nel dominio (in particolare che non esistano singolarità sull’asse) e che sia soddisfatta la condizione al contorno di adesione a parete.
Soluzione dell’equazione differenziale. Si integra due volte e si ottiene:
\[u(r) = -\dfrac{G_P}{4 \mu} r^2 + A \ln{r} + B\]Imponendo le condizioni al contorno, \(A\) deve essere nullo per l’ipotesi di valore finito in \(r=0\) (\(\ln r \rightarrow -\infty\) quando \(r \rightarrow 0\)). Imponendo poi la condizione di adesione a parete per \(r=R\), si ottiene:
\[u(r) = -\dfrac{G_P}{4 \mu} (r^2 - R^2) \ .\]Calcolo della portata: si integra la velocità sulla sezione circolare (!) del tubo. Questa relazione lega il gradiente di pressione \(G_P\) alla portata \(Q\) e al coefficiente di viscosità dimanica \(\mu\),
\[Q = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{R} u(r) r dr d\theta = 2\pi \int_{r=0}^{R} u(r) r dr = \dfrac{\pi}{8}\dfrac{G_P R^4}{\mu} \ .\]La differenza di pressione tra i due punti A e B (separati da una distanza \(l\)) è quindi \(P_B - P_A = -G_P l\).
Applicazione della legge di Stevino per ottenere il sistema risolvente:
\[\begin{split}\begin{cases} P_1 = P_A + \rho_f g H_0 & \text{(Stevino tra 1 e A)} \\ P_2 = P_B + \rho_f g (H_0-\Delta h) & \text{(Stevino tra 2 e B)} \\ P_B = P_A - G_P l & \text{(relazione trovata dalla sln di NS)} \\ P_2 = P_1 - \rho_{Hg} g \Delta h & \text{(Stevino tra 1 e 2)} \end{cases}\end{split}\]Risolvendo il sistema, si trova che:
\[G_P l = (\rho_{Hg} - \rho_f) g \Delta h\]Esplicitando il legame tra \(G_P\) e \(\mu\), si ottiene il risultato:
\[\Rightarrow \quad \mu = \dfrac{\pi R^4}{8 Q l} (\rho_{Hg} - \rho_f) g \Delta h \quad \Rightarrow \quad \mu = 6.36 \cdot 10^{-5} \dfrac{kg}{m s}\]Bisogna calcolare ora \(\tau_w\),la componente parallela alla parete dello sforzo a parete. Usando l’espressione vettoriale della parte viscosa del vettore sforzo agente sul fluido (aiutandosi con le tabelle per le espressioni in coordinate cilindriche degli operatori differenziali) con \(\mathbf{u} = u_z(r)\mathbf{\hat{z}}\) e \(\mathbf{\hat{n}} = \mathbf{\hat{r}}\), si può scrivere
\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{s_n} & = \mu \left[ 2 (\mathbf{\hat{n}} \cdot \mathbf{\nabla} ) \mathbf{u} + \mathbf{\hat{n}} \times \mathbf{\nabla} \times \mathbf{u} \right] = \\ & = \mu \left[ 2 \dfrac{\partial u_z}{\partial r}\mathbf{\hat{z}} - \dfrac{\partial u_z}{\partial r} \mathbf{\hat{z}} \right] = \\ & = \mu \dfrac{\partial u_z}{\partial r}\mathbf{\hat{z}} \ . \end{aligned}\end{split}\]Ricordando che lo sforzo agente sulla parete è uguale e contrario a quello agente sul fluido e che lo sforzo dovuto alla pressione è normale alla parete,
\[\begin{split}\begin{aligned} \tau_w & = - \mu \dfrac{\partial u_z}{\partial r}\bigg|_{r=R} = \\ & = \dfrac{1}{2} G_P R \ . \end{aligned}\end{split}\]Si ottiene quindi il valore, \(\tau_w = 31.05 N/m^2\).
L’espressione dello sforzo tangenziale a parete \(\tau_w = - \mu \frac{\partial u_z}{\partial r}\) per la corrente di Poiseuille in un tubo a sezione circolare è simile a quella ottenuta per la corrente in un canale piano, in coordinate cartesiane, \(\tau_w = \mu \frac{\partial u}{\partial y}\). In questi due casi, la componente tangenziale dello sforzo è proporzionale alla derivata in direzione perpendicolare alla parete della componente di velocità parallela alla parete. Questa NON è una formula generale per lo sforzo tangenziale a parete, come sarà evidente nel caso della corrente di Taylor-Couette.