1.8.6. Exercise 1.6

Exercise 1.6

Si consideri il manometro riportato in figura utilizzato per misurare la differenza di pressione esistente fra due sezioni diverse di un condotto. Determinare la differenza di pressione fra i punti \(A\) e \(B\) riportati sul disegno sapendo che il liquido manometrico é acqua e ha una densità di \(998\ kg/m^3\), che il fluido che scorre all’interno del condotto é aria e ha una densità di \(1.225\ kg/m^3\), che \(h_A = 1\ m\), che \(h_B = 1.2\ m\), che \(h_0= 0.1\ m\), che \(h_1 = 0.3\ m\) e che \(h_2 = 0.7\ m\).

(\(p_B-p_A=-3913.75\ Pa\))

Concetti. Legge di Stevino. Manometro. Venturi.

\[P_1 + \rho g h_1 = P_2 + \rho g h_2\]

Svolgimento. Si scrive la legge di Stevino tra i punti A e 1, 1 e 2, 2 e B:

\[\begin{split}\label{eqn:stevino:underdet} \begin{cases} P_B + \rho_a g z_B = P_2 + \rho_a g z_2 \\ P_1 + \rho g z_1 = P_2 + \rho g z_2 \\ P_A + \rho_a g z_A = P_1 + \rho_a g z_1 \\ \Delta P = P_B - P_A \end{cases}\end{split}\]

Si risolve il sistema lineare (come più piace). Ad esempio, partendo dalla terza e inserendo nella seconda e nella prima i risultati trovati:

\[\begin{split}\begin{aligned} & P_1 = P_A + \rho_a g (z_A - z_1) \\ & P_2 = P_A + \rho_a g (z_A - z_1) + \rho g (z_1 - z_2) \\ & P_B = P_A + \rho_a g (z_A - z_1) + \rho g (z_1 - z_2) + \rho_a g (z_2 - z_B) \end{aligned}\end{split}\]

E quindi, portando \(P_A\) a sinistra:

\[\Delta P = -(\rho - \rho_a) g ( z_2-z_1) - \rho_a g (z_B - z_A) = -3909.8 Pa\]

1.8.6.1. Osservazione.

Il sistema lineare ([eqn:stevino:underdet]{reference-type=»ref» reference=»eqn:stevino:underdet»}) è sotto determinato (se esiste una soluzione, ne esistono infinite), essendo un sistema lineare di 4 equazioni in 5 incognite, \(P_1\), \(P_2\), \(P_A\), \(P_B\), \(\Delta P\). Il sistema lineare può essere scritto usando il formalismo matriciale come \(\underline{\underline{A}}\,\underline{x} = \underline{b}\) con

\[\begin{split}\underline{\underline{A}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} , \quad \underline{x} = \begin{bmatrix} P_A \\ P_B \\ P_1 \\ P_2 \\ \Delta P \end{bmatrix} , \quad \underline{b} = \begin{bmatrix} \rho_a g (h_2-h_B) \\ \rho g (h_1-h_2) \\ \rho_a g (h_A-h_1) \\ 0 \end{bmatrix} \ .\end{split}\]

Poichè la matrice \(\underline{\underline{A}}\) ha rango massimo (= 4), esiste una soluzione \(\underline{x}^*\) del problema, tale che \(\underline{\underline{A}}\,\underline{x}^* = \underline{b}\). Dal teorema del rango, si sa che il numero delle colonne (= 5) di una matrice è uguale alla dimensione del suo rango (= 4) e del suo nucleo (quindi = 1). Il nucleo della matrice \(\underline{\underline{A}}\), tutti i vettori \(\underline{v}\) t.c. \(\underline{\underline{A}}\,\underline{v} = \underline{0}\), è uno spazio vettoriale di dimensione uno. Se \(\underline{x}^*\) è soluzione del sistema, allora anche tutti i vettori \(\underline{x}^* + a \underline{v}\), \(a \in \mathbb{R}\), sono soluzione del sistema, poichè \(\underline{\underline{A}}(\underline{x}^* + \underline{v}) = \underline{\underline{A}}\,\underline{x}^* + \underline{\underline{A}}\,\underline{v} = \underline{b} + \underline{0}\). Si può dimostrare il nucleo di \(\underline{\underline{A}}\) è generato dal vettore \(\underline{v}=(1,1,1,1,0)^T\). Quindi le infinite soluzioni del problema hanno la forma

\[\begin{split}\begin{bmatrix} P_A \\ P_B \\ P_1 \\ P_2 \\ \Delta P \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} P_A^* \\ P_B^* \\ P_1^* \\ P_2^* \\ \Delta P \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a \\ a \\ a \\ a \\ 0 \end{bmatrix} \ .\end{split}\]

Ora dovrebbe apparire chiaro come non sia possibile determinare il valore assoluto delle pressioni \(P_1\), \(P_2\), \(P_A\), \(P_B\) solamente da una misura di pressione con un manometro differenziale: questi valori sono noti a meno di una costante additiva \(a\), indeterminata. Al contrario, la differenza di due di questi valori, come \(\Delta P = P_B - P_A\), è unica (e uguale al risultato ottenuto nello svolgimento del problema): l’unicità di \(\Delta P\) dipende dalla forma dei vettori del nucleo di \(\underline{\underline{A}}\) che hanno componente \(\Delta P\) nulla.