7. Similitude
7.1. Teorema di Buckingham
Il teorema di Buckingham afferma che un problema descritto da \(n\)
variabili fisiche, le cui dimensioni fisiche coinvolgono \(k\) grandezze
fondamentali, può essere espresso in funzione di \(n-k\) gruppi
adimensionali.
7.2. Equazioni di Navier–Stokes incomprimibili in forma adimensionale
Nelle equazioni incomprimibili di Navier–Stokes per un fluido a densità
costante
\[\begin{split}\begin{cases}
\rho \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \rho (\mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{u} - \mu \Delta \mathbf{u} + \mathbf{\nabla} p = \rho \mathbf{g} \\
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0 \ ,
\end{cases}\end{split}\]
compaiono 7 variabili fisiche
\((\rho,\mathbf{u},\mu,p,\mathbf{g};\mathbf{r},t)\), le 2 variabili indipendenti
spaziale \(\mathbf{r}\) e temporale \(t\), e le 5 variabili dipendenti
rappresentate dalla densità \(\rho\), dal campo di velocità \(\mathbf{u}\), dal
coefficiente di viscosità dinamica \(\mu\), dal campo di pressione \(p\) e
dal campo di forze di volume \(\mathbf{g}\). Le dimensioni fisiche delle 7
variabili possono essere costruite con 3 grandezze fondamentali, la
massa \(M\), la lunghezza \(L\) e il tempo \(T\). Ad esempio, le dimensioni
fisiche della velocità sono \([\mathbf{u}] = L \ T^{-1}\) e quelle della
densità sono \([\rho] = M \ L^{-3}\). Le dimensioni delle 7 variabili
fisiche che compaiono nelle equazioni di Navier–Stokes incomprimibili
sono raccolte nella tabella
[tab:adim-ns-1]{reference-type=»ref»
reference=»tab:adim-ns-1»}.
$\mathbf{r}$ $t$ $\rho$ $\mathbf{u}$ $\mu$ $p$ $\mathbf{g}$
M 0 0 1 0 1 1 0
L 1 0 -3 1 -1 -1 1
T 0 1 0 -1 -1 -2 -2
: Variabili fisiche e grandezze fondamentali.[]{label=»tab:adim-ns-1»}
Per poter formare i \(7-3 = 4\) gruppi adimensionali che caratterizzano il
problema, è necessario scegliere 3 variabili fisiche (o combinazione di
queste) che «contengano in maniera linearmente indipendente» tutte le 3
grandezze fondamentali del problema. Facendo riferimento alla tabella
[tab:adim-ns-1]{reference-type=»ref»
reference=»tab:adim-ns-1»}, le colonne relative alle variabili scelte
per l’adimensionalizzazione devono formare dei vettori linearmente
indipendenti tra di loro. Ad esempio, due scelte valide delle variabili
da usare per l’adimensionalizzazione del problema sono:
\((\rho,U,L)\), una densità, una velocità e una lunghezza di
riferimento,
\((\mu,U,L)\), una viscosità, una velocità e una lunghezza di
riferimento,
mentre una scelta non accettabile è una terna \((T,U,L)\) formata da un
tempo, una velocità e una lunghezza di riferimento, poichè non è
possibile costruire dei gruppi adimensionali con le variabili fisiche
che contengono la massa come grandezza fisica, come la densità, la
presssione e il coefficiente di viscosità. Tutte le variabili fisiche
vengono espresse come il prodotto di una loro grandezza di riferimento,
che contiene le dimensioni fisiche e viene indicata con la tilde, e la
loro versione adimensionale, indicata con l’asterisco,
\[\begin{split}\begin{aligned}
\mathbf{r} & = \tilde{L} \mathbf{r}^* \quad , \quad t = \tilde{T}\ t^* \quad , \quad \mathbf{u} = \tilde{U} \mathbf{u}^* \\
\rho & = \tilde{\rho} \ \rho^* \quad , \quad \mu = \tilde{\mu} \ \mu^* \quad , \quad
p = \tilde{p} \ p^* \quad , \quad \mathbf{g} = \tilde{g} \ \mathbf{g}^* \ .
\end{aligned}\end{split}\]
Per le equazioni di Navier–Stokes incomptimibili a
proprietà costanti, è possibile scegliere il valore di riferimento della
densità e della viscosità dinamica come il valore stesso delle variabili
fisiche, \(\tilde{\rho} = \rho\), \(\tilde{\mu} = \mu\). In questo modo, il
loro valore adimensionale è uguale a 1, \(\rho^* = \mu^* = 1\). Nel caso
del campo di forze di volume dovuto alla gravità, costante e diretto
lungo la verticale, è possibile definire il valore di riferimento
\(\tilde{g} = |\mathbf{g}|\), cosicché il vettore \(\mathbf{g}^*\) è uguale e
contrario al versore \(\mathbf{\hat{z}}\) orientato in direzione verticale.
Anche l’operatore nabla viene adimensionalizzato,
\(\mathbf{\nabla} = \frac{1}{\tilde{L}} \mathbf{\nabla}^*\). Le equazioni di
Navier–Stokes possono essere scritte come
\[\begin{split}\begin{cases}
\dfrac{\rho \tilde{U}}{\tilde{t}} \dfrac{\partial \mathbf{u}^*}{\partial t^*} + \dfrac{\rho \tilde{U}^2}{\tilde{L}} (\mathbf{u}^* \cdot \mathbf{\nabla}^*) \mathbf{u}^* - \dfrac{\mu \tilde{U}}{\tilde{L}^2} \Delta^* \mathbf{u}^* + \dfrac{\tilde{p}}{\tilde{L}} \mathbf{\nabla}^* p^* = -\rho g \mathbf{\hat{z}} \\
\dfrac{\tilde{U}}{\tilde{L}}\mathbf{\nabla}^* \cdot \mathbf{u}^* = 0 \ .
\end{cases}\end{split}\]
7.3. Adimensionalizzazione «ad alti numeri di Reynolds»
Se si scelgono \((\tilde{\rho},\tilde{U},\tilde{L})\) come grandezze di
riferimento, dividendo l’equazione della quantità di moto per
\(\tilde{\rho} \tilde{U}^2 / \tilde{L}\) e il vincolo di incomprimibilità
per \(\tilde{U} / \tilde{L}\),
\[\begin{split}\begin{cases}
\dfrac{\tilde{L}}{\tilde{U}\tilde{t}} \dfrac{\partial \mathbf{u}^*}{\partial t^*} + (\mathbf{u}^* \cdot \mathbf{\nabla}^*) \mathbf{u}^* - \dfrac{\mu }{ \rho \tilde{U} \tilde{L} } \Delta^* \mathbf{u}^* + \dfrac{\tilde{p}}{\rho \tilde{U}^2} \mathbf{\nabla}^* p^* = -\dfrac{g\tilde{L}}{\tilde{U}^2} \mathbf{\hat{z}} \\
\mathbf{\nabla}^* \cdot \mathbf{u}^* = 0 \ ,
\end{cases}\end{split}\]
si possono riconoscere 4 numeri adimensionali:
il numero di Strouhal, \(St = \frac{\tilde{L}}{\tilde{U}\tilde{t}}\),
che rappresenta il rapporto tra una scala dei tempi e la scala dei
tempi \(\tilde{L}/\tilde{U}\) costruita con la lunghezza e la velocità
di riferimento;
il numero di Reynolds, \(Re = \frac{\rho \tilde{U} \tilde{L} }{\mu}\),
che rappresenta il rapporto tra gli effetti di inerzia e quelli
viscosi;
il numero di Eulero, \(Eu = \frac{\tilde{p}}{\rho \tilde{U}^2}\), che
rappresenta il rapporto tra la grandezza di riferimento della
pressione e quella di un energia cinetica del fluido;
il numero di Froude, \(Fr = \frac{\tilde{U}^2}{g\tilde{L}}\), che
rappresenta il rapporto tra gli effetti di inerzia e quelli dovuti
al campo di forze di volume.
Quando non esiste una scala dei tempi «indipendente» dal fenomeno
fluidodinamico, è possibile scegliere il valore di riferimento del tempo
\(\tilde{t} = \tilde{L} / \tilde{U}\), in modo tale da ottenere un numero
di Strouhal unitario. Per la natura stessa della «pressione» di
moltiplicatore di Lagrange introdotto nelle equazioni di Navier–Stokes
per imporre il vincolo di incomprimibilità, è frequente che la pressione
non abbia una scala indipendente nel regime incomprimibile. É possibile
quindi scegliere una scala di pressione \(\tilde{p} = \rho \tilde{U}^2\),
in modo tale da ottenere un numero di Eulero unitario,
\[\begin{split}\begin{cases}
\dfrac{\partial \mathbf{u}^*}{\partial t^*} + (\mathbf{u}^* \cdot \mathbf{\nabla}^*) \mathbf{u}^* - \dfrac{1}{Re} \Delta^* \mathbf{u}^* + \mathbf{\nabla}^* p^* = -\dfrac{1}{Fr} \mathbf{\hat{z}} \\
\mathbf{\nabla}^* \cdot \mathbf{u}^* = 0 \ .
\end{cases}\end{split}\]
Se le grandezze di riferimento sono rappresentative del
problema, in modo tale da rendere gli ordini di grandezza delle
variabili adimensionali paragonabili tra loro, il valore dei numeri
adimensionali permette di valutare l’influenza dei termini. Ad esempio,
per valori elevati del numero di Froude l’influenza delle forze di
volume è ridotta. Per valori elevati del numero di Reynolds, l’influenza
degli effetti viscosi diventa trascurabile nelle regioni del campo di
moto nelle quali le derivate spaziali del campo di velocità sono
piccole. Per applicazionii tipiche aeronautiche ad alti numeri di
Reynolds, gli effetti viscosi saranno quindi trascurabili in gran parte
del dominio, ad eccezione delle regioni di strato limite, all’interno
delle quali la componente della velocità «parallela» alla parete ha una
variazione elevata in direzione perpendicolare alla parete stessa. Se
gli effetti delle forze di volume sono trascurabili
(\(Fr \rightarrow \infty\)), le equazioni di Navier–Stokes incomprimibili
per problemi ad alti numeri di Reynolds (\(Re \rightarrow \infty\)) si
riducono alle equazioni di Eulero incomprimibili nelle regioni del
dominio in cui gli effetti viscosi sono trascurabili,
\[\begin{split}\begin{cases}
\dfrac{\partial \mathbf{u}^*}{\partial t^*} + (\mathbf{u}^* \cdot \mathbf{\nabla}^*) \mathbf{u}^* + \mathbf{\nabla}^* p^* = \mathbf{0} \\
\mathbf{\nabla}^* \cdot \mathbf{u}^* = 0 \ .
\end{cases}\end{split}\]
7.4. Adimensionalizzazione «a bassi numeri di Reynolds»
Se si scelgono \((\tilde{\rho},\tilde{U},\tilde{L})\) come grandezze di
riferimento, dividendo l’equazione della quantità di moto per
\(\tilde{\mu} \tilde{U} / \tilde{L}^2\) e il vincolo di incomprimibilità
per \(\tilde{U} / \tilde{L}\), le equazioni di Navier–Stokes diventano
\[\begin{split}\begin{cases}
\dfrac{\rho\tilde{L}^2}{\mu \tilde{t}} \dfrac{\partial \mathbf{u}^*}{\partial t^*} + \dfrac{\rho \tilde{U} \tilde{L}}{\mu}(\mathbf{u}^* \cdot \mathbf{\nabla}^*) \mathbf{u}^* - \Delta^* \mathbf{u}^* + \dfrac{\tilde{p}\tilde{L}}{\mu \tilde{U}} \mathbf{\nabla}^* p^* = -\dfrac{\rho g\tilde{L}^2}{\mu \tilde{U}} \mathbf{\hat{z}} \\
\mathbf{\nabla}^* \cdot \mathbf{u}^* = 0 \ .
\end{cases}\end{split}\]
Se gli effetti delle forze di volume sono trascurabili
rispetto agli effetti viscosi e non ci sono scale indipendenti di tempo
e pressione, le equazioni di Navier–Stokes in forma adimensionale
diventano
\[\begin{split}\begin{cases}
\dfrac{\partial \mathbf{u}^*}{\partial t^*} + Re (\mathbf{u}^* \cdot \mathbf{\nabla}^*) \mathbf{u}^* - \Delta^* \mathbf{u}^* + \mathbf{\nabla}^* p^* = \mathbf{0} \\
\mathbf{\nabla}^* \cdot \mathbf{u}^* = 0 \ .
\end{cases}\end{split}\]
Per correnti nelle quali il numero di Reynolds
caratteristico tende a zero, note come creeping flow, il termine non
lineare diventa trascurabile e le equazioni di Navier–Stokes si
riducono alle equazioni di Stokes,
\[\begin{split}\begin{cases}
\dfrac{\partial \mathbf{u}^*}{\partial t^*} - \Delta^* \mathbf{u}^* + \mathbf{\nabla}^* p^* = \mathbf{0} \\
\mathbf{\nabla}^* \cdot \mathbf{u}^* = 0 \ .
\end{cases}\end{split}\]
7.5. Equazione di continuità e numero di Mach
La forma adimensionale dell’equazione di continuità permette di valutare
i limiti dell’approssimazione di corrente incomprimibile, che soddisfa
il vincolo cinematico di incomprimibilità
\(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0\). L’equazione della massa viene scritta in
forma convettiva,
\[- \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = \dfrac{1}{\rho}\dfrac{D \rho}{D t} \ .\]
Ricordando che lo stato termodinamico di un sistema monocomponente
monofase è definito da due variabili termodinamiche, il campo di
pressione \(p\) viene espresso in funzione del campo di densità \(\rho\) e
di entropia \(s\), come \(p(\rho,s)\). Il differenziale di questa relazione,
\[d p = \left(\dfrac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s d \rho +
\left(\dfrac{\partial p}{\partial s}\right)_{\rho} d s \ ,\]
può
essere utilizzato per esprimere la derivata materiale della densità in
funzione delle derivate materiali di pressione ed entropia,
\[\dfrac{D \rho}{D t} = \dfrac{1}{\left(\partial p/\partial \rho\right)_s}\dfrac{D p}{D t} - \dfrac{\left(\partial p/\partial s\right)_{\rho}}{\left(\partial p/\partial \rho\right)_s}\dfrac{D s}{D t} = \dfrac{1}{c^2}\dfrac{D p}{D t} - \dfrac{\left(\partial p/\partial s\right)_{\rho}}{c^2}\dfrac{D s}{D t} \ ,\]
avendo riconosciuto il quadrato della velocità del suono
\(c^2 = \left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s\). L’equazione
della massa diventa quindi
\[- \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = \dfrac{1}{\rho c^2}\dfrac{D p}{D t} - \dfrac{\left(\partial p/\partial s\right)_{\rho}}{\rho c^2}\dfrac{D s}{D t} \ .\]
Per processi isentropici (o per i quali il secondo termine a destra
dell’uguale è trascurabile), l’equazione della massa si riduce a
\[- \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = \dfrac{1}{\rho c^2}\dfrac{D p}{D t} \ .\]
Utilizzando i valori di densità \(\tilde{\rho}\), velocità \(\tilde{U}\) e
lunghezza \(\tilde{L}\) caratteristici della corrente per costruire la
scala dei tempi \(\tilde{t} = \tilde{L}/\tilde{U}\) e per la pressione
\(\tilde{p} = \tilde{\rho} \tilde{U}^2\), si ottiene l’equazione della
massa in forma adimensionale,
\[\mathbf{\nabla}^* \cdot \mathbf{u}^* = - \dfrac{M^2}{\rho^*} \dfrac{D p^*}{D t^*} \ ,\]
nella quale si è iconosciuto il numero di Mach caratteristico della
corrente, \(M = \dfrac{\tilde{U}}{c}\), definito come il rapporto tra una
velocità caratteristica e la velocità del suono in uno stato
termodinamico di riferimento della corrente. É immediato osservare che
l’equazione di continuità della massa si riduce al vincolo di
incomprimibilità quando il numero di Mach assume valori ridotti (e il
campo di pressione non ha variazioni rapide).
7.6. Equazioni di Navier–Stokes in sistemi di riferimento non inerziali
…
7.7. Equazioni di Boussinesq e numeri di Prandtl, Rayleigh e Grashof
7.8. Equazioni di Boussinesq
Le equazioni di Boussinesq sono un modello approssimato delle equazioni
complete del moto dei fluidi, ricavato sotto le ipotesi che:
La variazione della densità in funzione della densità diventa quindi
\[d \rho(P, T) = \left(\dfrac{\partial \rho}{\partial P} \right)_T dP + \left(\dfrac{\partial \rho}{\partial T} \right)_P dT \approx \left(\dfrac{\partial \rho}{\partial T} \right)_P dT = - \rho_0 \, \alpha \, dT \\]
\[\rightarrow \rho = \rho_0 \left( 1 - \alpha \, (T-T_0) \right) \ ,\]
dove le derivate sono calcolate nello stato termodinamico di
riferimento, \((\rho_0, \ T_0)\), ed è stato introdotto il coefficiente di
dilatazione termica
\[\alpha = - \dfrac{1}{\rho_0} \left(\dfrac{\partial \rho}{\partial T} \right)_P \ .\]
Introducendo le approssimazioni elencate, l’espressione dell’energia
interna \(e = c_v T\) e la legge di Fourier per il flusso di calore per
conduzione, \(\mathbf{q} = -k \mathbf{\nabla} T\), nelle equazioni complete per
una corrente incomprimibile di un fluido newtoniano,
\[\begin{split}\begin{cases}
\rho \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \rho
\left( \mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla} \right) \mathbf{u} -
\mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{\nabla} P = \rho \mathbf{g} \\
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0 \\
\rho \dfrac{\partial e}{\partial t} + \rho \mathbf{u} \cdot
\mathbf{\nabla} e = 2 \mu \mathbb{D}:\mathbb{D} - \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{q} \ ,
\end{cases}\end{split}\]
si ottengono le equazioni di Boussinesq
\[\begin{split}\begin{cases}
\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} +
\left( \mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla} \right) \mathbf{u} -
\nu \nabla^2 \mathbf{u} + \dfrac{1}{\rho_0}\mathbf{\nabla} P = \big( 1 - \alpha ( T-T_0 ) \big) \mathbf{g} \\
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0 \\
\dfrac{\partial T}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot
\mathbf{\nabla} T = D \nabla^2 T \ ,
\end{cases}\end{split}\]
avendo definito il coefficiente di diffusione termica
\(D = \dfrac{k}{\rho_0 c_v}\).
7.9. Equazioni di Boussinesq: problema bidimensionale tra due superfici piane
7.9.1. Condizioni al contorno
Si considera ora la corrente che si sviluppa tra due superfici piane
orizzontali infinite, a distanza \(h\) l’una dall’altra, mantenute a
temperatura costante: la temperatura vale \(T_w\) sulla superficie
inferiore e \(T_c\) sulla superficie superiore. Viene definita la
differenza di temperatura \(\Delta T = T_w - T_c\). Se le due superfici
considerate sono superfici solide, la velocità su di esse è nulla. Se le
due superfici sono superfici «libere» (di simmetria, a sforzo nullo) si
annulla la derivata normale della velocità. Prendendo un sistema di assi
ortogonali, con l’origine in corrispondenza della superficie inferiore,
con l’asse \(x\) parallelo e l’asse \(z\) perpendicolare alla superficie, si
possono riassumere così le condizioni al contorno,
\[\begin{split}\text{wall: }
\begin{cases}
T(x,z=0) = T_w \\ T(x,z=h) = T_c \\
\mathbf{u}(x,z=0) = \mathbf{0} \\ \mathbf{u}(x,z=h) = \mathbf{0}
\end{cases} \hspace{0.5cm}
\text{free: } \left\{
\begin{aligned}
T(x,z=0) = T_w \ & \ , \ \ T(x,z=h) = T_c \\
\dfrac{\partial u}{\partial z}(x,z=0) = 0 \ & \ , \ \ \dfrac{\partial u}{\partial z}(x,z=h) = 0 \\
w(x,z=0) = 0 \ & \ , \ \ w(x,z=h) = 0 \ .
\end{aligned} \right.\end{split}\]
Non ci sono condizioni al contorno in \(x\),
poichè la direzione è omogenea. Considereremo qui solo il problema con
le condizioni al contorno «free».
7.9.2. Soluzione stazionaria non convettiva
Esiste una soluzione stazionaria (\(\partial / \partial t = 0\)) del
problema con fluido in quiete (\(\mathbf{u} = \mathbf{0}\)). Il vincolo di
incomprimibilità è soddisfatto identicamente. Sfruttando l’omogeneità
della direzione \(x\), la soluzione stazionaria indipendente dalla
coordinata \(x\) soddisfa le equazioni
\[\begin{split}\begin{cases}
\dfrac{1}{\rho_0}\dfrac{d P}{d z} = \alpha g (T-T_0) \vspace{0.2cm} \\
\dfrac{d^2 T}{d z^2} = 0 \ ,
\end{cases}\end{split}\]
dotate delle opportune condizioni al contorno. La
soluzione stazionaria del problema è
\[\begin{split}\begin{cases}
\overline{T}(z) = T_w + (T_c-T_w) \dfrac{z}{h} =
T_w - \Delta T \dfrac{z}{h} \\
\overline{P}(z) = P_w + \alpha \rho_0 g \left[ (T_w-T_0) z
- \dfrac{1}{2} \Delta T \dfrac{z^2}{h} \right] \ ,
\end{cases}\end{split}\]
avendo indicato con \(P_w\) il valore della pressione in
corrispondenza della superficie inferiore a \(z = 0\).
7.9.3. Equazione delle fluttuazioni
Viene definita la fluttuazione di temperatura \(\tau(x,z)\),
\[\begin{split}\begin{aligned}
\tau(x,z) = T(x,z) - \overline{T}(z) & = T(x,z) - T_w + \Delta T \dfrac{z}{h} \\
\quad \rightarrow \quad T(x,z) - T_w & = \tau(x,z) - \Delta T \dfrac{z}{h} \ .
\end{aligned}\end{split}\]
Scegliendo la superficie inferiore a \(z = 0\) per
definire la condizione termodinamica di riferimento, \(T_0 = T_w\). le
equazioni di Boussinesq diventano
\[\begin{split}\begin{cases}
\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} +
\left( \mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla} \right) \mathbf{u} -
\nu \nabla^2 \mathbf{u} + \dfrac{1}{\rho_0}\mathbf{\nabla} P = \left( 1 - \alpha \tau + \Delta T \dfrac{z}{h} \right) \mathbf{g} \\
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0 \\
\dfrac{\partial \tau}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot
\mathbf{\nabla} \tau + w \dfrac{\partial \overline{T}}{\partial z}= D \nabla^2 \tau \ .
\end{cases}\end{split}\]
Inoltre è possibile raccogliere il primo e il terzo
termine delle forze di galleggiamento sotto lo stesso operatore di
gradiente che opera sul campo di pressione. Infatti, è possibile
scrivere il termine di galleggiamento come
\[\begin{aligned}
\left( 1 - \alpha \tau + \Delta T \dfrac{z}{h} \right) \mathbf{g} & = \alpha \tau g \mathbf{\hat{z}} - \mathbf{\nabla} \left( gz + \Delta T \dfrac{z^2}{2 h} \right) \ .
\end{aligned}\]
Definendo una «pressione generalizzata» \(P'\),
\[P' = P + \rho_0 g z + \rho_0 \Delta T \dfrac{z^2}{2 h} \ ,\]
le equazioni di Boussinesq diventano
\[\begin{split}\label{eqn:Bouss-tau}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} +
\left( \mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla} \right) \mathbf{u} -
\nu \nabla^2 \mathbf{u} + \dfrac{1}{\rho_0}\mathbf{\nabla} P' = \alpha g \tau \mathbf{\hat{z}} \\
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0 \\
\dfrac{\partial \tau}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot
\mathbf{\nabla} \tau -\dfrac{\Delta T}{h} w = D \nabla^2 \tau \ ,
\end{cases}\end{split}\]
e le condizioni al contorno della temperatura vengono
espresse anch’esse in funzione di \(\tau\),
\[\label{eqn:Bouss-tau-bc}
\tau(x,z=0) = \tau(x,z=h) = 0 \ .\]
7.10. Equazioni di Boussinesq in forma adimensionale
Si ricava la forma adimensionale delle equazioni
([eqn:Bouss-tau]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:Bouss-tau»}) e delle condizioni al contorno
([eqn:Bouss-tau-bc]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:Bouss-tau-bc»}) utilizzando il teorema \(\pi\) di
Buckingham. Nel problema di Boussinesq compaiono 12 grandezze
dimensionali (13 se si volesse considerare la componente \(w\) della
velocità \(\mathbf{u}\) in maniera indipendente),
\[\begin{split}\underbrace{\mathbf{x}, t}_{\text{tar. indip.}},
\underbrace{\mathbf{u}, \tau, P'}_{\text{campi } f(\mathbf{x},t)},
\underbrace{\rho_0, \nu, D, \alpha, g}_{\substack{ \text{\footnotesize{propr. del fluido}} \\ \text{\footnotesize{e del problema}} } },
\underbrace{h, \Delta T}_{\substack{ \text{\footnotesize{dominio e}} \\ \text{\footnotesize{ condizioni al contorno}} } } \ ,\end{split}\]
e 4 grandezze fisiche fondamentali: massa \(M\), lunghezza \(L\), tempo \(T\)
e temperatura \(\Theta\). Secondo il teorema di Buckingham, il problema
può quindi essere caratterizzato da 8 numeri adimensionali. Utilizzando
la stessa scala di lunghezze per adimensionalizzare \(\mathbf{x}\) e \(h\) e la
stessa scala di temperature per adimensionalizzare \(\tau\) e \(\Delta T\),
sono sufficienti 6 numeri adimensionali. É necessario scegliere 4
grandezze fisiche di riferimento indipendenti e, possibilmente,
rappresentative del problema con le quali adimensionalizzare le altre.
Il problema della convezione non forzata descritto dalle equazioni di
Boussinesq è caratterizzato dalla differenza di temperatura \(\Delta T\) e
dalla distanza \(h\) delle superfici, dal fluido considerato e
dall’intensità delle forze di volume. I campi di velocità \(\mathbf{u}\), di
«temperatura» \(\tau\) e di «pressione» \(P'\) sono un risultato, una
conseguenza, delle condizioni al contorno e del fluido impiegato: non
esistono scale di velocità e pressione indipendenti, mentre il campo di
temperatura può essere scalato sulla differenza \(\Delta T\). Non esiste
nemmeno una scala indipendente dei tempi, poiché l’evoluzione del
sistema è determinata dalle condizioni al contorno e dal fluido
utilizzato. Come grandezze dimensionali di riferimento indipendenti e
caratteristiche del problema vengono scelte la densità del fluido, il
coefficiente di diffusione termica, la distanza tra le superfici e la
loro differenza di temperatura:
\[\tilde{\rho}=\rho_0, \ \tilde{D} = D, \ \tilde{L} = h, \ \tilde{\Theta} = \Delta T \ .\]
$\mathbf{x}$ $t$ $\mathbf{u}$ $\tau$ $P'$ $\rho_0$ $\nu$ $D$ $\alpha$ $g$ $h$ $\Delta T$
M 1 1
L 1 1 -1 -3 2 2 1 1
T 1 -1 -2 -1 -1 -2
\(\Theta\) 1 -1 1
: Teorema di Buckingham. Grandezze dimensionali e unità
fisiche.[]{label=»tab:Bouss-pi-thm»}
Ora è possibile scrivere ogni grandezza dimensionale come prodotto di
una grandezza omogenea di riferimento (dimensionale) e del suo valore
adimensionale. Si può quindi scrivere,
\[\begin{split}\label{eqn:var-adim}
\begin{aligned}
\mathbf{x} = \tilde{L} \mathbf{x}^* \quad & , \quad t = \tilde{T} t^* \\
\mathbf{u} = \tilde{U} \mathbf{u}^* \quad , \quad \tau & = \tilde{\Theta} \tau^* \quad , \quad P' = \tilde{P} P^{*'} \\
\rho_0 = \tilde{\rho} \rho_0^* \quad , \quad \nu = \tilde{\nu} \nu^* \quad , \quad D & = \tilde{D} D^* \quad , \quad \alpha = \tilde{\alpha} \alpha^* \quad , \quad g = \tilde{g} g^* \\
h = \tilde{L} h^* \quad & , \quad \Delta T = \tilde{\Theta} \Delta T^* \ ,
\end{aligned}\end{split}\]
avendo utilizzato la stessa scala di lunghezza
\(\tilde{L}\) come riferimento per la coordinata spaziale indipendente
\(\mathbf{x}\) e la distanza \(h\) tra le due superifici, e la stessa scala di
temperatura \(\tilde{\Theta}\) come riferimento per il campo di
temperatura \(\tau\) e la differenza di temperatura tra le due superfici
\(\Delta T\), come anticipato in precedenza. Le 12 grandezze dimensionali
sono state adimensionalizzate usando 10 scale di riferimento: da queste
è possibile ricavare 6 numeri adimensionali con cui descrivere il
problema. Inserendo le espressioni
([eqn:var-adim]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:var-adim»}) nel problema di Boussinesq
([eqn:Bouss-tau]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:Bouss-tau»}), si ricava
\[\begin{split}\label{eqn:Bouss-tau-adim-1}
\begin{cases}
\dfrac{\tilde{U}}{\tilde{T}}\dfrac{\partial \mathbf{u}^*}{\partial t^*} + \dfrac{\tilde{U}^2}{\tilde{L}}
\left( \mathbf{u}^* \cdot \mathbf{\nabla}^* \right) \mathbf{u}^* -
\dfrac{\tilde{\nu} \tilde{U}}{\tilde{L}^2} \nu^* \nabla^{*2} \mathbf{u}^* + \dfrac{\tilde{P}}{\tilde{\rho} \tilde{L}}\dfrac{1}{\rho_0^*}\mathbf{\nabla} P^{*'} = \tilde{\alpha} \tilde{g} \tilde{\theta} \alpha^* g^* \tau^* \mathbf{\hat{z}} \\
\dfrac{\tilde{U}}{\tilde{L}}\mathbf{\nabla}^* \cdot \mathbf{u}^* = 0 \\
\dfrac{\tilde{\Theta}}{\tilde{T}}\dfrac{\partial \tau^*}{\partial t^*} + \dfrac{\tilde{U}\tilde{\Theta}}{\tilde{L}}\mathbf{u}^* \cdot
\mathbf{\nabla}^* \tau^* - \dfrac{\tilde{U}\tilde{\Theta}}{\tilde{L}}\dfrac{\Delta T^*}{h^*} w^* = \dfrac{\tilde{D}\tilde{\Theta}}{\tilde{L}^2} D^* \nabla^{*2} \tau^* \ ,
\end{cases}\end{split}\]
con le conzioni al contorno "free"
\[\begin{split}\text{free: } \left\{
\begin{aligned}
\tilde{\Theta}\tau^*(\tilde{L}x^*,\tilde{L}z^*=0) = 0 \quad & , \quad
\tilde{\Theta}\tau^*(\tilde{L}x^*,\tilde{L}z^*=\tilde{L}h^*) = 0 \\
\dfrac{\tilde{U}}{\tilde{L}}\dfrac{\partial u^*}{\partial z^*}(\tilde{L}x^*,\tilde{L}z^*=0) = 0 \quad & , \quad
\dfrac{\tilde{U}}{\tilde{L}}\dfrac{\partial u}{\partial z^*}(\tilde{L}x^*,\tilde{L}z^*=\tilde{L}h^*) = 0 \\
\tilde{U} w^*(\tilde{L}x^*,\tilde{L}z^*=0) = 0 \quad & , \quad
\tilde{U} w^*(\tilde{L}x^*,\tilde{L}z^*=\tilde{L}h^*) = 0
\end{aligned} \right.\end{split}\]
Con un abuso di notazione, d'ora in poi si
indicano le grandezze adimensionali senza asterisco e i campi
adimensionali vengono definiti come funzione delle variabili
indipendenti adimensionali,
\[\mathbf{u}(\mathbf{x},t) = \tilde{U} \mathbf{u}^*(\tilde{L} \mathbf{x}^*, \tilde{T} t^*) \quad \rightarrow \quad \tilde{U} \mathbf{u}(\mathbf{x}, t) \ .\]
Le grandezze di riferimento delle grandezze costanti vengono scelte
coincidenti con la grandezza stessa, cosicché le grandezze adimensionali
relative sono uguali a 1,
\[\begin{split}\label{eqn:var-adim-2}
\begin{aligned}
\rho_0 = \tilde{\rho} \quad , \quad \nu = \tilde{\nu} \quad , \quad D & = \tilde{D} \quad , \quad \alpha = \tilde{\alpha} \quad , \quad g = \tilde{g} \\
h = \tilde{L} \quad & , \quad \Delta T = \tilde{\Theta} \ .
\end{aligned}\end{split}\]
Dividendo l’equazione della quantità di moto per
\(\tilde{\nu}\tilde{U}/\tilde{L}^2\), il vincolo di incomprimibilità per
\(\tilde{U}/\tilde{L}\) e l’equazione dell’energia per
\(\tilde{D}\tilde{\Theta}/\tilde{L}^2\), il problema di Boussinesq diventa
\[\begin{split}\label{eqn:Bouss-tau-adim-2}
\begin{cases}
\dfrac{\tilde{L}^2}{\tilde{\nu}\tilde{T}}\dfrac{\partial \mathbf{u}^*}{\partial t^*} + \dfrac{\tilde{U}\tilde{L}}{\tilde{\nu}}
\left( \mathbf{u}^* \cdot \mathbf{\nabla}^* \right) \mathbf{u}^* -
\nabla^{*2} \mathbf{u}^* + \dfrac{\tilde{P}\tilde{L}}{\tilde{\rho} \tilde{\nu} \tilde{U}}\mathbf{\nabla} P^{*'} = \dfrac{\tilde{\alpha} \tilde{g} \tilde{\Theta} \tilde{L}^2}{\tilde{\nu} \tilde{U}} \tau^* \mathbf{\hat{z}} \\
\mathbf{\nabla}^* \cdot \mathbf{u}^* = 0 \\
\dfrac{\tilde{L}^2}{\tilde{D}\tilde{T}}\dfrac{\partial \tau^*}{\partial t^*} + \dfrac{\tilde{U}\tilde{L}}{\tilde{D}}\mathbf{u}^* \cdot
\mathbf{\nabla}^* \tau^* - \dfrac{\tilde{U}\tilde{L}}{\tilde{D}} w^* = \nabla^{*2} \tau^* \ ,
\end{cases}\end{split}\]
con le conzioni al contorno «free»
\[\begin{split}\label{eqn:Bouss-adim-2-bc}
\text{free: }
\left\{
\begin{aligned}
\tau^*(x^*,z^*=0) = 0 \qquad & , \qquad
\tau^*(x^*,z^*=1) = 0 \\
\dfrac{\partial u^*}{\partial z^*}(x^*,z^*=0) = 0 \qquad & , \qquad
\dfrac{\partial u^*}{\partial z^*}(x^*,z^*=1) = 0 \\
w^*(x^*,z^*=0) = 0 \qquad & , \qquad w^*(x^*,z^*=1) = 0 \ .
\end{aligned} \right.\end{split}\]
Nel problema
([eqn:Bouss-tau-adim-2]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:Bouss-tau-adim-2»}-[eqn:Bouss-adim-2-bc]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:Bouss-adim-2-bc»}) compaiono 6 numeri adimensionali.
Siamo arrivati al risultato previsto dal teorema di Buckingham. Prima di
andare avanti, conviene comunque fare un’osservazione. Solo 5 dei 6
numeri adimensionali trovati sono tra di loro indipendenti: in
particolare solo 3 dei 4 numeri adimensionali
\[\pi_1 = \frac{\tilde{L}^2}{\tilde{D}\tilde{T}} \ , \quad
\pi_2 = \frac{\tilde{U}\tilde{L}}{\tilde{D}} \ , \quad
\pi_3 = \frac{\tilde{L}^2}{\tilde{\nu}\tilde{T}} \ , \quad
\hat{\pi}_4 = \frac{\tilde{U}\tilde{L}}{\tilde{\nu}} = \pi_2 \dfrac{\pi_3}{\pi_1}\]
sono linearmente indipendenti. Sembra di aver commesso un errore poiché
abbiamo trovato una contraddizione del teorema di Buckingham.
L’apparente errore si nasconde nel termine adimensionale
\(\frac{\tilde{\alpha} \tilde{g} \tilde{\theta} \tilde{L}^2}{\tilde{\nu} \tilde{U}}\).
Questo termine infatti è il prodotto dei numeri adimensionali
\(\tilde{\alpha} \tilde{\theta}\) e
\(\frac{\tilde{g} \tilde{L}^2}{\tilde{\nu} \tilde{U}}\). I sei numeri
adimensionali indipendenti che caratterizzano il problema sono quindi
\[\begin{split}\begin{aligned}
\pi_1 = \frac{\tilde{L}^2}{\tilde{D}\tilde{T}} \quad ,\quad
\pi_2 & = \frac{\tilde{U}\tilde{L}}{\tilde{D}} \quad ,\quad
\pi_3 = \frac{\tilde{L}^2}{\tilde{\nu}\tilde{T}} \\
\pi_4 = \frac{\tilde{P}\tilde{L}}{\tilde{\rho}\tilde{\nu}\tilde{U}} \quad ,\quad
\pi_5 & = {\tilde{\alpha}\tilde{\Theta}} \quad ,\quad
\pi_6 = \frac{\tilde{g} \tilde{L}^2}{\tilde{\nu} \tilde{U}} \ .
\end{aligned}\end{split}\]
Poiché il coefficiente di dilatazione termica \(\alpha\) e
la forza per unità di volume \(g\) comapiono sempre attraverso il loro
prodotto, questo si può considerare come un’unica variabile, \(\alpha g\).
In questo caso, i 5 numeri adimensionali che descrivono il problema
composto dalle 9 (10-1) scale di riferimento sono
\[\pi'_1 = \pi_1, \ \pi'_2 = \pi_2, \ \pi'_3 = \pi_3, \ \pi'_4 = \pi_4, \ \pi'_5 = \pi_5 \pi_6 \ .\]
Non essendoci scale di velocità, tempo e pressione indipendenti, è
possibile definire queste scale a partire dalle 4 grandezze fisiche di
riferimento \(\tilde{L}\), \(\Delta \tilde{T}\), \(\tilde{\rho}\),
\(\tilde{D}\), imponendo il valore unitario di alcuni parametri
adimensionali,
\[\begin{split}\begin{aligned}
\pi'_1 = 1 & \quad \rightarrow \quad \tilde{T} = \dfrac{\tilde{L}^2}{\tilde{D}} \\
\pi'_2 = 1 & \quad \rightarrow \quad \tilde{U} = \dfrac{\tilde{D}}{\tilde{L}} \\
\pi'_4 = 1 & \quad \rightarrow \quad \tilde{P} = \dfrac{\tilde{\rho}\tilde{\nu}\tilde{U}}{\tilde{L}} \ .
\end{aligned}\end{split}\]
Gli unici due parametri adimensionali caratteristici
del problema rimangono
\[\begin{split}\begin{aligned}
\Pi_1 = \pi'_3 = \dfrac{\tilde{L^2}}{\tilde{\nu} \tilde{L}^2/\tilde{D}} \qquad \rightarrow \qquad \Pi_1 & = \dfrac{\tilde{D}}{\tilde{\nu}} = \dfrac{1}{Pr} \\
\Pi_5 = \pi'_5 = \dfrac{\tilde{\alpha}\tilde{\Theta} \tilde{g} \tilde{L}^2}{\tilde{\nu} \tilde{D}/\tilde{L}} \qquad \rightarrow \qquad \Pi_5 & = \dfrac{\tilde{\alpha}\tilde{g}\tilde{\Theta} \tilde{L}^3}{\tilde{\nu} \tilde{D}} = Ra = \\
& = \dfrac{\tilde{\alpha}\tilde{g}\tilde{\Theta} \tilde{L}^3}{\tilde{\nu}^2}\dfrac{\tilde{\nu}}{\tilde{D}} = Gr \, Pr \ ,
\end{aligned}\end{split}\]
nei quali si possono riconoscere i numeri di Prandtl,
\(Pr\), di Rayleigh, \(Ra\), e di Grashof, \(Gr\). La forma adimensionale del
problema di Boussinesq tra due superfici piane è quindi
\[\begin{split}\label{eqn:Bouss-tau-adim-3}
\begin{cases}
\dfrac{1}{Pr} \left[ \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} +
\left( \mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla} \right) \mathbf{u} \right] -
\nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{\nabla} P' = Ra \, \tau \mathbf{\hat{z}} \\
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0 \\
\dfrac{\partial \tau}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot
\mathbf{\nabla} \tau - w = \nabla^{2} \tau \ ,
\end{cases}\end{split}\]
con le conzioni al contorno «free»
\[\begin{split}\label{eqn:Bouss-adim-3-bc}
\text{free: }
\left\{
\begin{aligned}
\tau(x,z=0) = 0 \qquad & , \qquad
\tau(x,z=1) = 0 \\
\dfrac{\partial u}{\partial z}(x,z=0) = 0 \qquad & , \qquad
\dfrac{\partial u}{\partial z}(x,z=1) = 0 \\
w(x,z=0) = 0 \qquad & , \qquad w(x,z=1) = 0 \ .
\end{aligned} \right.\end{split}\]
7.11. Equazione della vorticità e funzione di corrente nell’approssimazione di Boussinesq
Dall’equazione della quantità di moto in
([eqn:Bouss-tau-adim-3]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:Bouss-tau-adim-3»}) è possibile ricavare l’equazione
della vorticità, applicandole l’operatore di rotore. Poichè il problema
è piano e bidimensionale, il campo di vorticità ha componente non nulla
solo fuori dal piano \(xz\). Utilizzando un sistema di coordinate
cartesiano, il campo di vorticità
\(\mathbf{\omega}(x,z,t) = \xi(x,z,t) \mathbf{\hat{y}}\) soddisfa l’equazione
$\(\dfrac{1}{Pr} \left[ \dfrac{\partial \xi}{\partial t} +
\mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla} \xi \right] -
\nabla^2 \xi = - Ra \, \dfrac{\partial \tau}{\partial x} \ .\)$
Si può poi introdurre la funzione di corrente \(\psi\),
\[u = \dfrac{\partial \psi}{ \partial z} \quad , \quad
w = - \dfrac{\partial \psi}{ \partial x} \ ,\]
in modo tale da soddisfare identicamente il vincolo di incomprimibilità. La componente
\(y\) del campo di vorticità diventa
\[\xi = \dfrac{\partial u}{\partial z} - \dfrac{\partial w}{\partial x} =
\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} +
\dfrac{\partial^2 w}{\partial x^2} =
\nabla^2 \psi \ ,\]
e il termine advettivo di una funzione \(f\)
qualsiasi può essere scritta come un determinante,
\[\begin{split}\mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla} f = u \dfrac{\partial f}{\partial x} + w \dfrac{\partial f}{\partial z} =
\dfrac{\partial \psi}{ \partial z} \dfrac{\partial f}{\partial x} - \dfrac{\partial \psi}{ \partial x} \dfrac{\partial f}{\partial z} = \left| \begin{matrix} f_x & f_z \\ \psi_x & \psi_z \end{matrix} \right| =: \dfrac{\partial(f,\psi)}{\partial(x,z)} \ .\end{split}\]
Il sistema di equazioni del problema di Boussinesq diventa quindi
\[\begin{split}\label{eqn:Bouss-vort-psi-tau}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \xi}{\partial t} +
\dfrac{\partial(\xi,\psi)}{\partial(x,z)}
= Pr \, \nabla^2 \xi
- Pr \, Ra \, \dfrac{\partial \tau}{\partial x} \\
\dfrac{\partial \tau}{\partial t} +
\dfrac{\partial(\tau,\psi)}{\partial(x,z)} =
\nabla^{2} \tau + w \ .
\end{cases}\end{split}\]
7.12. Approssimazione di Fourier–Galerkin del problema di Boussinesq
Utilizzando la geometria del dominio, è possibile espandere le funzioni
che compaiono nelle equazioni
([eqn:Bouss-vort-psi-tau]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:Bouss-vort-psi-tau»}) come somma di prodotti di funzioni
armoniche in \(x\) e \(z\), la cui ampiezza dipende dal tempo
\[\begin{split}\label{eqn:harm-1}
\begin{aligned}
\psi(x,z,t) & = \sum_m \sum_k a_{m,k}(t) \sin{(m\pi z + \phi^a_m)}\sin{(k\pi x + \phi^a_k)} \\
\tau(x,z,t) & = \sum_m \sum_k b_{m,k}(t) \sin{(m\pi z + \phi^b_m)}\sin{(k\pi x + \phi^b_k)} \ .
\end{aligned}\end{split}\]
Le condizioni al contorno
([eqn:Bouss-adim-3-bc]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:Bouss-adim-3-bc»}) del problema con due superfici
infinite «free» impongono che la componente
\(w=-\partial{\psi}/\partial{x}\) e la derivata
\(\partial u/\partial z = \partial^2 \psi/\partial z^2\) siano nulle per
\(z = 0, \ 1\) per ogni istante temporale e per ogni valore di \(x\). Le
condizioni al contorno su \(w\) impongono le seguenti condizioni
sull’espanzione armonica delle funzioni,
\[\begin{split}\begin{aligned}
0 = \dfrac{\partial \psi}{\partial x}\Big|_{z=0} & = \sum_m \sum_k k \pi a_{m,k}(t) \sin{ \phi^a_m }\cos{(k\pi x + \phi^a_k)} \\
& \hspace{4.0cm} \rightarrow \qquad \phi^a_m = 0 \ , \\
0 = \dfrac{\partial \psi}{\partial x}\Big|_{z=1} & = \sum_m \sum_k k \pi a_{m,k}(t) \sin{ m \pi }\cos{(k\pi x + \phi^a_k)} \\
& \hspace{4.0cm} \rightarrow \qquad m \in \mathbb{Z} \ .
\end{aligned}\end{split}\]
Le stesse condizioni derivano dalle condizioni al
contorno su \(\partial u/\partial z\). Le condizioni al contorno sulla
temperatura in impongono le seguenti condizioni sull’espansione armonica
della funzione \(\tau\)
\[\begin{split}\begin{aligned}
0 = \tau \Big|_{z=0} & = \sum_m \sum_k b_{m,k}(t) \sin{ \phi^b_m }\sin{(k\pi x + \phi^b_k)} \\
& \hspace{4.0cm} \rightarrow \qquad \phi^b_m = 0 \ ,\\
0 = \tau \Big|_{z=1} & = \sum_m \sum_k b_{m,k}(t) \sin{ m \pi }\sin{(k\pi x + \phi^b_k)} \\
& \hspace{4.0cm} \rightarrow \qquad m \in \mathbb{Z} \ .
\end{aligned}\end{split}\]
A causa dell’omogeneità della direzione \(x\), nella
quale il dominio è infinito, non ci sono condizioni sul numero d’onda
\(k\), che può assumere tutti i valori \(\in \mathbb{R}\), e sulla fase
delle armoniche in \(x\). Le espansioni
([eqn:harm-1]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:harm-1»}) possono quindi essere scritte come
\[\begin{split}\label{eqn:harm-2}
\begin{aligned}
\psi(x,z,t) & = \sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_k a^1_{m,k}(t) \sin{(m\pi z)} \sin{(k\pi x )} + a^2_{m,k}(t) \sin{(m\pi z)} \cos{(k \pi x)} \\
\tau(x,z,t) & = \sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_k b^1_{m,k}(t) \sin{(m\pi z)} \sin{(k\pi x )} + b^2_{m,k}(t) \sin{(m\pi z)} \cos{(k \pi x)} \ .
\end{aligned}\end{split}\]
7.13. Dal problema di Boussinesq al modello di Lorenz
Le espansioni ([eqn:harm-2]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:harm-2»}) possono essere brutalmente troncate per
ottenere un modello dinamico di dimensione \(N_d = 3\) partendo dal
modello continuo, che ha dimensione infinita. Le espansioni
([eqn:harm-2]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:harm-2»}) vengono troncate mantenendo solo 3 termini
\[\begin{split}\label{eqn:harm-3}
\begin{aligned}
\psi(x,z,t) & = a(t) \sin{(\pi z)} \sin{(k\pi x )} \\
\tau(x,z,t) & = b(t) \sin{(\pi z)} \cos{(k\pi x )} + c(t) \sin{(2 \pi z)} \ ,
\end{aligned}\end{split}\]
avendo definito \(a(t) = a^1_{1,k}(t)\),
\(b(t) = b^2_{1,k}(t)\), \(c(t) = b^1_{2,0}(t)\). Usando le espansioni
([eqn:harm-3]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:harm-3»}), la componente \(y\) del campo di vorticità
\(\xi = \nabla^2 \psi\) diventa
\[\xi = - \pi^2 (1 + k^2) \psi = - \pi^2 (1 + k^2) a(t) \sin{(\pi z)} \sin{(k\pi x )}\]
I due determinanti che compaiono nelle equazioni
([eqn:Bouss-vort-psi-tau]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:Bouss-vort-psi-tau»}) valgono
\[\begin{split}\begin{aligned}
\dfrac{\partial (\xi, \psi)}{\partial (x,z)} = &
\left[ -\pi^3 k(1+k^2) a(t) \sin{(\pi z)} \cos{(k \pi x)} \right]
\left[ a(t) \pi \cos{(\pi z)} \sin{(k \pi x)} \right] + \\
- & \left[ -\pi^3 (1+k^2) a(t) \cos{(\pi z)} \sin{(k \pi x)} \right]
\left[ a(t) \pi k \sin{(\pi z)} \cos{(k \pi x)} \right] = 0 \ ,
\end{aligned}\end{split}\]
e
\[\begin{split}\begin{aligned}
\dfrac{\partial (\tau, \psi)}{\partial (x,z)} = &
\left[ - \pi k b(t) \sin{(\pi z )} \sin{(k \pi x)} \right]
\left[ a(t) \pi \cos{(\pi z)} \sin{(k \pi x)} \right] + \\
- & \left[ \pi b(t) \cos{(\pi z )} \cos{(k \pi x)} + 2\pi c(t) \cos{(2\pi z)} \right]
\left[ a(t) \pi k \sin{(\pi z)} \cos{(k \pi x)} \right] = \\
= & - k \pi^2 a(t) b(t) \dfrac{\sin{( 2 \pi z)}}{2} -
2 k \pi^2 a(t)c(t) \sin(\pi z) \cos(2\pi z) \cos(k \pi x) \ .
\end{aligned}\end{split}\]
I laplaciani che compaiono nelle equazioni
([eqn:Bouss-vort-psi-tau]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:Bouss-vort-psi-tau»}) valgono
\[\nabla^2 \xi = -\pi^2 (1+k^2) \xi = \pi^4 (1+k^2)^2 a(t) \sin{(\pi z)} \sin{(k \pi x)} \ ,\]
e
\[\nabla^2 \tau = -\pi^2 (1+k^2) b(t) \sin{(\pi z)}\cos{(k \pi x)} - 4 \pi^2 c(t) \sin{(2\pi x)} \ .\]
Il numero di Prantl viene indicato come \(Pr = \sigma\), il numero di
Rayleigh come \(Ra = R\). Inserendo le espansioni
([eqn:harm-3]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:harm-3»}) all’interno delle equazioni
([eqn:Bouss-vort-psi-tau]{reference-type=»ref»
reference=»eqn:Bouss-vort-psi-tau»}), il problema troncato di Boussinesq
diventa,
\[\begin{split}\begin{cases}
- \sigma \pi^2 (1+k^2) \dot{a}(t) \sin{(\pi z)} \sin{(k\pi x )} = \sigma \pi^4 (1+k^2)^2 a(t) \sin{(\pi z)} \sin{(k \pi x)} + \\
\hspace{6.0cm} + \sigma R \, \pi k \, b(t) \sin{(\pi z)}\sin{(k \pi x)} \\
\dot{b}(t)\sin{(\pi z)} \cos{(k\pi x )} + \dot{c}(t) \sin{(2\pi x)} + \\
\hspace{2.0cm} - k \pi^2 a(t) b(t) \dfrac{\sin{(2 \pi z)}}{2} -
2 k \pi^2 a(t)c(t) \sin(\pi z) \cos(2\pi z) \cos(k \pi x) = \\
\hspace{1.5cm} = -\pi^2 (1+k^2) b(t) \sin{(\pi z)}\cos{(k \pi x)} - 4 \pi^2 c(t) \sin{(2\pi x)} + \\
\hspace{2.0cm} - \pi k a(t) \sin{(\pi z)} \cos{(k \pi x)} \ .
\end{cases}\end{split}\]
Raccogliendo il termine
\(\sin{(\pi z)} \sin{(k \pi x)}\) nell’equazione della vorticità si
ottiene l’equazione
\[- \pi^2 (1+k^2) \dot{a} = \sigma \pi^4 (1+k^2)^2 a(t) + \sigma R \, \pi k \, b(t) \ .\]
L’equazione della temperatura viene «proiettata» sulle funzioni di base
\(\sin{(\pi z)} \cos{(k \pi x)}\) e \(\sin{(2 \pi x)}\) e sfruttando
l’ortogonalità delle funzioni armoniche. La proiezione consiste nella
moltiplicazione dell’equazione per le funzioni di base
\(\sin{(\pi z)} \cos{(k \pi x)}\) e nell’integrazione in
\((x,z) \in \left[0,\frac{2}{k}\right]\times\left[0,1\right]\). Usando il
valore degli integrali,
\[\begin{split}\begin{aligned}
\int_{x=0}^{2/k} \sin{(k \pi x)}^2 dx & = \dfrac{1}{2} \int_{x=0}^{2/k} \left[ 1 - \cos{(2 k \pi x)} \right] dx = \dfrac{1}{k} \\
\int_{x=0}^{2/k} \sin{(k \pi x)}\cos{(k \pi x)} dx & = \dfrac{1}{k \pi} \int_{x=0}^{2/k} \sin{(k \pi x)} d \big( \sin{(k \pi x)} \big) = 0 \\
\int_{x=0}^{2/k} \cos{(k \pi x)}^2 dx & = \dfrac{1}{k} \ ,
\end{aligned}\end{split}\]
e degli integrali
\[\begin{split}\begin{aligned}
\int_{z=0}^{1} \sin{(\pi z)}^2 dz & = \dfrac{1}{2} \int_{x=0}^{1} \left[ 1 - \cos{(2\pi z)} \right] dz = \dfrac{1}{2} \\
\int_{z=0}^{1} \sin{(\pi z)} \sin{(\pi z)} \cos{(2\pi z)} dz & =
\dfrac{1}{2} \int_{z=0}^{1} \left[ 1 - \cos{(2\pi z)} \right] \cos{(2\pi z)} dz = \\
& = - \dfrac{1}{2} \int_{z=0}^{1} \cos^2{(2\pi z)} dz =
- \dfrac{1}{4} \ .
\end{aligned}\end{split}\]
La proiezione dell’equazione della vorticità sulla
funzione \(\sin{(\pi z)} \cos{(k \pi x)}\) è
\[\dfrac{1}{2}\dot{b}(t) - \dfrac{1}{4} 2 k \pi^2 a(t) c(t) =
-\dfrac{1}{2} \pi^2 (1+k^2) b(t) - \dfrac{1}{2}\pi k a(t) \ ,\]
mentre la proiezione dell’equazione della vorticità sulla funzione
\(\sin{(2 \pi z)}\) è
\[\dfrac{1}{k}\dot{c}(t) - \dfrac{1}{k} \dfrac{\pi^2 k}{2} a(t) b(t) =
- \dfrac{1}{k} 4 \pi^2 c(t) \ .\]
Le equazioni diventano quindi
\[\begin{split}\begin{cases}
- \pi^2 (1+k^2) \dot{a} = \sigma \pi^4 (1+k^2)^2 a(t) + \sigma R \, \pi k \, b(t) \\
\dot{b} = -\pi^2 (1+k^2) b(t) + \pi^2 k a(t)c(t) - \pi k a(t) \\
\dot{c} = \dfrac{\pi^2 k}{2} a(t) b(t) - 4 \pi^2 c(t) \ .
\end{cases}\end{split}\]
Partendo da queste equazioni, si introduce qualche
cambio di variabile per riportarsi all’espressione classica del sistema
di Lorenz. Viene introdotto il tempo \(t' = \pi^2 (k^2 + 1) t\), cosicché
\[\dot{f} = \dfrac{df}{dt} = \dfrac{dt'}{dt}\dfrac{df}{dt'} =
\pi^2 (k^2 + 1) \dfrac{df}{dt'} \ .\]
Con un abuso di notazione,
d’ora in poi si indica \(\dot{(\ )}\) la derivata rispetto a \(t'\). La
stessa variabile \(t'\) viene indicata con \(t\). Le equazioni diventano
\[\begin{split}\begin{cases}
\dot{a}(t) = \sigma a(t) + \sigma R \dfrac{k}{\pi^3 (k^2+1)^2} b(t) \\
\dot{b}(t) = - b(t) + \dfrac{ k}{k^2+1} a(t)c(t) - \dfrac{ k}{\pi(k^2+1)} a(t) \\
\dot{c}(t) = \dfrac{k}{2(k^2+1)} a(t) b(t) - \dfrac{4}{k^2+1} c(t) \ .
\end{cases}\end{split}\]
Viene definito infine il cambio di variabili
\[\begin{split}\begin{cases}
X(t) = \dfrac{k}{\sqrt{2}(k^2+1)} a(t) \\
Y(t) = \dfrac{k}{\sqrt{2}(k^2+1)}
\left[-\dfrac{R k}{\pi^3 (k^2+1)^2}\right] b(t) \\
Z(t) = \left[-\dfrac{R k^2}{\pi^3 (k^2+1)}\right] c(t)
\end{cases}\end{split}\]
che porta alla forma classica del sistema dinamico di
Lorenz
\[\begin{split}\begin{cases}
\dot{X} = - \sigma X + \sigma Y \\
\dot{Y} = - Y + \rho X - X Z \\
\dot{Z} = - \beta Z + X Y \ ,
\end{cases}\end{split}\]
avendo definito i parameteri
\[\rho = \dfrac{R k^2}{\pi^4 (k^2+1)^2} \qquad , \qquad
\beta = \dfrac{4}{k^2+1} \ .\]
