4.20.7. Exercise 4.7#

Exercise 4.7

Si consideri la corrente stazionaria nel gomito a 90\(\,^\circ\) di una galleria a vento a circuito chiuso di cui è mostrata in figura la sezione nel piano \(x\)–\(y\). Siano assegnate le aree della sezione di ingresso, \(S_1 = 16 \ m^2\), e di uscita, \(S_2 = 56 \ m^2\), la portata in volume \(Q_1 = 1600 \ m^3/s\) e le pressioni nella sezione di ingresso, \(P_1 = 1.05 \ bar\), e nella sezione di uscita, \(P_2 = 1.106 \ bar\). Assumendo che il flusso d’aria sia incomprimibile (\(\rho = 1.225\ kg/m^3\)) e che la velocità sulle sezioni di ingresso e uscita possa ritenersi uniforme, si determinino le componenti \(F_x\) ed \(F_y\) della spinta che esso esercita sul gomito, usando la convenzione indicata in figura.

(\(F_x = 1.876\,10^6\ N\), \(F_y = -6.251\,10^6\ N\))

Concetti. Bilanci integrali di massa e quantità di moto.

\[\begin{split}\begin{cases} \frac{d}{dt} \int_V \rho = -\oint_{\partial V} \rho \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} & \text{(massa)} \\ \frac{d}{dt} \int_V \rho \mathbf{u} = -\oint_{\partial V} \rho \mathbf{u} \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} +\int_V \mathbf{f} - \oint_{\partial V} p \hat{\mathbf{n}} + \oint_{\partial V} {\mathbf{t}_s} & \text{(quantità di moto)} \end{cases}\end{split}\]

Svolgimento. Vengono fatte alcune ipotesi: regime stazionario, fluido incomprimibile, fluido non viscoso, profili costanti di velocità, no gravità. Si scrivono i bilanci integrali semplificati, si riconoscono in essi e si calcolano le azioni scambiate con il corpo.

  • Scrittura dei bilanci integrali con le semplificazioni opportune, derivanti dalle ipotesi.

    \[\begin{split}\begin{cases} \oint_{\partial V} \rho \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 & \text{(massa)} \\ \oint_{\partial V} \rho \mathbf{u} \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} = \oint_{\partial V} \mathbf{t_n} & \text{(quantità di moto)} \end{cases}\end{split}\]

  • Ulteriore semplificazione usando l’ipotesi di densità costante e profili di velocità uniformi

    \[\begin{split}\begin{cases} -V_1 A_1 + V_2 A_2 = 0 & \quad \Rightarrow \quad V_1 A_1 = V_2 A_2 = Q \\ - \rho \vec{V_1} V_1 A_1 + \rho \vec{V_2} V_2 A_2 = \oint_{\partial V} \mathbf{t_n} \end{cases}\end{split}\]

  • Relazione tra l’integrale della pressione e la risultante delle forze agenti sul gomito, sfruttando il fatto che l’integrale della normale su tutta la superficie è identicamente nullo. Si identificano con \(S_1\) la superficie di ingresso, \(S_2\) la superficie di uscita, \(S_3\) la superficie laterale.

    \[\begin{split}\begin{aligned} \displaystyle\oint_{S_1\cup S_2\cup S_3} p \hat{n} & = \displaystyle\oint_{S_1\cup S_2\cup S_3} \mathbf{t_n} + \displaystyle\oint_{S_1\cup S_2\cup S_3} p_a \hat{n} = \\ & = -\oint_{S_1} (p-p_a) \hat{n} - \oint_{S_2} (p-p_a) \hat{n} + \underbrace{\oint_{S_3} (\mathbf{t_n}+p_a\hat{n})}_{=-\mathbf{f}} = \\ & = -\oint_{S_1} (p-p_a) \hat{n} - \oint_{S_2} (p-p_a) \hat{n} - \mathbf{f} \end{aligned}\end{split}\]

  • L’equazione della quantità di moto diventa quindi:

    \[- \rho \mathbf{V_1} V_1 A_1 + \rho \mathbf{V_2} V_2 A_2 = - (p_1 - p_a) A_1 \hat{n}_1 - (p_2 - p_a) A_2 \hat{n}_2 - \mathbf{F}\]

  • Proiezione lungo i due assi del sistema di riferimento della risultante delle forze agenti sul gomito. Se si considera \(p_a = 0\), i risultati numerici sono i seguenti:

    \[\begin{split}\begin{cases} F_x = \rho \frac{Q^2}{A_1} + (p_1 - p_a)A_1 & \quad \Rightarrow \quad F_x = 1.876 \cdot 10^6 N \\ F_y = - \rho \frac{Q^2}{A_2} - (p_2 - p_a)A_2 & \quad \Rightarrow \quad F_y =-6.250 \cdot 10^6 N \end{cases}\end{split}\]