6.5.3. Exercise 6.3#
Si consideri una corrente d’acqua a pelo libero, laminare e stazionaria, che scorre su una parete piana di lunghezza e apertura infinita inclinata di un angolo \(\alpha\) rispetto all’orizzontale. Sul pelo libero la pressione è uniforme e uguale a \(P_a\). Lo sforzo tangenziale fra acqua e aria viene considerato nullo.
Si calcoli il profilo di velocità nello strato di acqua e il campo di pressione.
Semplificazione delle equazioni di NS in casi particolari. Soluzioni esatte in coordinate cartesiane.
Si scelga un sistema di riferimento cartesiano con l’asse \(x\) orientato lungo la parete verso il basso e l’asse y perpendicolare ed uscente ad essa. Sulla corrente di questo problema agiscono le forze di volume dovute alla gravità. L’ipotesi che la pressione sia uniforme sulla superficie di interfaccia tra acqua e aria implica che la pressione è indipendente dalla coordinata \(x\) in tutto il fluido.
Scrittura delle equazioni di NS in coordinate cartesiane in 2 dimensioni.
\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t} + u \dfrac{\partial u}{\partial x} + v \dfrac{\partial u}{\partial y} - \nu \left( \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) + \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial p}{\partial x} = f_x \\ \dfrac{\partial v}{\partial t} + u \dfrac{\partial v}{\partial x} + v \dfrac{\partial v}{\partial y} - \nu \left( \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2} \right) + \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial p}{\partial y} = f_y \\ \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} = 0 \end{cases}\end{split}\]Semplificazione delle equazioni di NS per il problema considerato. Vengono fatte le seguenti ipotesi:
problema stazionario: \(\dfrac{\partial}{\partial t} = 0\);
direzione \(x\) omogenea (canale infinito in direzione \(x\)): \(\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial x} = 0\);
non si può dire altrettanto della pressione, a causa del ruolo che questa ha nelle equazioni di NS incomprimibili. Il campo di pressione può essere interpretato come un moltiplicatore di Lagrange necessario a imporre il vincolo di incomprimibilità. Inoltre, ad eccezione di alcune condizioni al contorno, non appare mai direttamente come pressione \(p\) ma solamente con le sue derivate spaziali. Da un punto di vista più fisico, la differenza di pressione lungo il canale è la forzante che mette in moto il fluido in una corrente di Poiseuille.
la condizione \(\dfrac{\partial u}{\partial x} = 0\) inserita nel vincolo di incomprimibilità, implica \(\dfrac{\partial v}{\partial y}=0\); poichè \(\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}=0\) segue che \(v = \text{cost} = 0\), poiché è nulla a parete per la condizione al contorno di adesione, \(\mathbf{u} = \mathbf{0}\).
no forze di volume: \(\mathbf{f} = \rho \mathbf{g} = \rho g \sin \alpha \mathbf{\hat{x}} - \rho g \cos \alpha \mathbf{\hat{y}}\).
Le equazioni di NS possono essere semplificate
\[\begin{split}\begin{cases} - \mu \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = - \dfrac{\partial p}{\partial x} + \rho g \sin \alpha \\ \dfrac{\partial p}{\partial y} = - \rho g \cos \alpha \ . \end{cases}\end{split}\]Dalla seconda segue che l’espressione del campo di pressione è
\[p(x,y) = -\rho g y \cos \alpha + f(x) \ .\]L’espressione di \(f(x)\) può essere calcolata imponendo la condizione al contorno sul pelo libero, \(p(x,H) = P_a\),
\[P_a = -\rho g H \cos \alpha + f(x) \qquad \rightarrow \qquad f(x) = P_a + \rho g H \cos \alpha \ .\]La funzione \(f(x)\) è costante, senza dipendere dalla coordinata \(x\). Di conseguenza, il campo di pressione dipende solo dalla coordinata \(y\)
\[p(x,y) = P_a + \rho g ( H - y ) \cos \alpha \ ,\]e la derivata di \(\partial p / \partial x\) è nulla. La componente \(x\) dell’equazione della quantità di moto diventa quindi un’equazione ordinaria del secondo ordine
\[\begin{split}\begin{cases} - \mu u''(y) = \rho g \sin \alpha \ , \ y \in[0,H] \\ u(0) = 0 \\ u'(H) = 0 \ , \end{cases}\end{split}\]con le condizioni al contorno di adesione a parete e di sforzo di taglio nullo all’interfaccia tra aria ed acqua, \(0=\tau(H)=\mu \dfrac{\partial u}{\partial y}(H)=\mu u'(H)\). La derivata parziale in \(y\) è stata sostituita da quella ordinaria, poichè la velocità è solo funzione di \(y\).
Soluzione dell’equazione differenziale con dati al contorno: si integra due volte e si impongono le condizioni al contorno per ottenere la componente \(u\) del campo di velocità.
\[u(y) = - \dfrac{\rho g}{2 \mu} y( y - H ) \sin \alpha \ .\]