Exercise 4.3

4.20.3. Exercise 4.3#

Exercise 4.3

Un getto d’acqua ($\rho=999\ kg/m^3$) stazionario, piano e orizzontale viene indirizzato su un cilindro, lambendone la superficie e venendo deviato di un angolo $\alpha =15^\circ$. Determinare la forza agente su una porzione del cilindro di lunghezza pari a $H = 2\ m$, dovuta sia al getto d’acqua, sia all’aria circostante, sapendo che: \begin{itemize} \item il fluido che circonda il getto e il cilindro `e aria in quiete a pressione atmosferica di $101325\ Pa$; \item la larghezza del getto `e $h=2\ cm$; \item la portata d’acqua per unit`a di lunghezza nel getto `e $Q = 199\ kg\ m^{-1}\ s^{-1}$. \end{itemize} Sufficientemente lontano dal cilindro, il profilo di velocità sulle sezioni del getto è uniforme. Illustrare tutte le ipotesi semplificative adottate nella risoluzione dell’esercizio.

($\mathbf{F} = 1026\ \hat{\mathbf{x}} - 135\ \hat{\mathbf{y}} \ N$)

Concetti. Bilanci integrali di massa e quantità di moto. Equazioni di equilibrio (equazioni fondamentali della dinamica classica). Principio di azione e reazione. Integrale della normale su una superficie chiusa è identicamente nullo. Effetto Coanda (esempio della bustina da té sotto il rubinetto).

Svolgimento. Vengono fatte alcune ipotesi: il problema stazionario; attorno al getto e al solido, l’aria è in quiete con pressione uniforme $p_a$; il profilo di velocità è uniforme sulle sezioni del getto considerate nelle equazioni di bilancio.

Partendo dalle equazioni di bilancio per il volume di controllo $V_{f}$ occupato dal fluido, rielaborando il termine degli sforzi di superficie sforzi di superficie, si ricava la risultante $\mathbf{R}$ agente sul solido in funzione del flusso di quantità di moto del fluido attraverso la superficie $S_{f} = \partial V_f$.

Innanzitutto viene ricavata l’espressione della risultante $\mathbf{R}$ agente sul solido.

Vengono scritte le equazioni di bilancio per il fluido, considerando il volume $V_f$

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{d}{d t} \displaystyle\int_{V_f} \rho + \oint_{S_f} \rho \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 & \qquad \text{(massa)} \\ \dfrac{d}{d t} \displaystyle\int_{V_f} \rho \mathbf{u} + \oint_{S_f} \rho \mathbf{u} \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} = \oint_{S_f} \mathbf{t_n} = 0 % \oint_{\partial \Omega} p \hat{\mathbf{n}} - \oint_{\partial \Omega} \mathbf{s_n} = 0 & \qquad \text{(quantità di moto)} %\Rb^{ext} \end{cases}\end{split}\]
Viene introdotta l’ipotesi di stazionarietà del fenomeno, $\frac{d}{dt}\equiv 0$. La risultante degli sforzi viene scritta come somma degli sforzi di pressione e degli sforzi viscosi,

\[\begin{split}\begin{split} % & \Rb = \oint_{S_{cyl}} {\mathbf{t}}_{\mathbf{n}} = % \oint_{S_{cyl}} {\mathbf{s}}_{\mathbf{n}} - \oint_{S_{cyl}} p {\hat{\mathbf{n}}}_{cyl} \\ & \oint_{S_f} \rho \mathbf{u} \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} = \oint_{S_{f}} {\mathbf{t}}_{\mathbf{n}} = \oint_{S_{f}} {\mathbf{s}}_{\mathbf{n}} - \oint_{S_f} p {\hat{\mathbf{n}}}_{f} \ . \end{split}\end{split}\]
Viene manipolato il termine degli sforzi di superficie. Il contorno $S_f$ del volume fluido viene scomposto come unione della superficie a contatto con il solido $S_{fs}$, delle superfici «laterali» $S_{f\ell}$ (attraverso le quali non c’è flusso di quantità meccaniche, poichè $\mathbf{u}\cdot\mathbf{\hat{n}} = 0$) a contatto con l’aria in quiete e le sezioni «di ingresso» $S_{f,1}$ e «di uscita» $S_{f,2}$ sulle quali la velocità è uniforme, utilizzate per i bilanci integrali per il volume fluido. Viene indicata con $\mathbf{\hat{n}_f}$ la normale uscente dal volume $V_f$. Il contorno $S_s$ del solido viene scomposto come unione della superficie a contatto con il fluido $S_{sf}$ e della superficie $S_{s\ell}$ a contatto con l’aria in quiete. Viene indicata con $\mathbf{\hat{n}_s}$ la normale uscente dal volume $V_s$. In questo modo, la superficie $S_{fs}$ coincide con la superficie $S_{sf}$, a meno della normale invertita, $\mathbf{\hat{n}_f} = \mathbf{\hat{n}_s}$. Su queste superfici, per il terzo principio della dinamica, lo sforzo ${\mathbf{t_n}}_{sf}$ agente sul solido dovuto al fluido è uguale e contrario allo sforzo ${\mathbf{t_n}}_{fs}$ agente sul fluido dovuto al fluido, ${\mathbf{t_n}}_{sf}=-{\mathbf{t_n}}_{fs}$. La superficie formata dall’unione $S_{f\ell} \cup S_{f,1} \cup S_{f,2} \cup S_{s\ell} =:S_{ext}$ è una superficie chiusa con normale uscente $\mathbf{\hat{n}}$ uguale a $\mathbf{\hat{n}_f}$ sulle prime tre superfici e uguale a $\mathbf{\hat{n}}$ su $S_{s\ell}$. Lo sforzo agente su $S_{ext}$ è uguale a $-p_a\mathbf{\hat{n}}$, poiché le superfici libere sono a contatto con aria in quiete con pressione $p_a$ e le traiettorie delle particelle rettilinee (senza curvatura1) sulle sezioni $S_{f,1}$ e $S_{f,2}$.

\[\begin{split}\begin{aligned} \oint_{S_f} \mathbf{t_n} & = \int_{S_{f\ell}} \mathbf{t_n} + \int_{S_{f,1+2}} \mathbf{t_n} + \int_{S_{fs}} \mathbf{t_n} = & \text{($\mathbf{t_n} |_{S_{f\ell},S_{f,1+2}} = -p_a \mathbf{\hat{n}_f}$ )}\\ & = - \int_{S_{f\ell}\cup S_{f,1+2}} p_a \mathbf{\hat{n}_f} + \int_{S_{fs}} \mathbf{t_n} = & \text{(somma e sottrazione di $\int_{S_{fs}} p_a \mathbf{\hat{n}_f}$)}\\ & = \underbrace{- \int_{S_{f\ell}\cup S_{f,1+2}} p_a \mathbf{\hat{n}_f} - \int_{S_{fs}} p_a \mathbf{\hat{n}_f}}_{-\oint_{S_f} p_a \mathbf{\hat{n}_f}=0} + \int_{S_{fs}} p_a \mathbf{\hat{n}_f} + \int_{S_{fs}} \mathbf{t_n} = & \text{($\mathbf{\hat{n}_f} = -\mathbf{\hat{n}_s}$, ${\mathbf{t_n}}_{fs} = - {\mathbf{t_n}}_{sf}$ su $S_{fs}$)} \\ & = - \int_{S_{sf}} p_a \mathbf{\hat{n}}_{s} - \int_{S_{sf}} {\mathbf{t_n}}_{sf} = & \text{($\oint_{S_s=S_{sf}\cup S_{s\ell}} p_a \mathbf{\hat{n}_s} = 0)$} \\ & = + \int_{S_{s\ell}} p_a \mathbf{\hat{n}}_{s} - \int_{S_{sf}} {\mathbf{t_n}}_{sf} = & \text{(${\mathbf{t_n}}_s = -p_a\mathbf{\hat{n}_s}$ su $S_{s\ell}$} \\ & = - \int_{S_{s\ell}} {\mathbf{t_n}}_{s} - \int_{S_{sf}} {\mathbf{t_n}}_{sf} = - \oint_{S_{s}} {\mathbf{t_n}}_{s} = \\ % \text{($S_{cyl} = S_c \cup S_{c_l}$ e $\int_{S_{cyl}} p_a \mathbf{n} = 0$)}\\ % & = \int_{{S_c}_l} p_a \mathbf{n}_{cyl} + \int_{S_c} \mathbf{t_n} = & % \text{($\mathbf{t}_{\mathbf{n}_{s}}|_{S_{c_l}} = -p_a \mathbf{n}_{cyl}$, $\mathbf{t}_{\mathbf{n}_{cyl}}|_{S_c} = - \mathbf{t_n}$)} \\ % & = - \int_{{S_c}_l} \mathbf{t}_{\mathbf{n}_{cyl}} - \int_{S_c} \mathbf{t}_{\mathbf{n}_{cyl}} = \\ % & = - \int_{S_{cyl}} \mathbf{t}_{\mathbf{n}_{cyl}} \\ & = - \mathbf{R} \ , \end{aligned}\end{split}\]

dove $\mathbf{R}$ è la risultante degli sforzi di superficie agente sul solido. In questo esercizio è il contributo delle forze di volume (ad esempio il peso) agenti sul solido.
Sostituendo nell’equazione del bilancio della quantità di moto si ottiene: $$\mathbf{R} = - \oint_{S_f} \rho \mathbf{u} \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}}$$
Considerando solo le superfici di $V_f$ attraverso le quali c’è un flusso non nullo di quantità di moto, la risultante delle forze diventa

\[\mathbf{R} = - \int_{S_{f,1}} \rho \mathbf{u} \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} - \int_{S_{f,2}} \rho \mathbf{u} \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}}\]

dove le quantità all’interno degli integrali sono riferite alle superfici di integrazione. Sulle sezioni $S_{f,1}$, $S_{f,2}$ la velocità è uniforme con modulo $U$ (dalla continuità, la velocità sulle due sezioni è uguale poichè l’area delle due sezioni è uguale) diretta lungo la linea media del getto. Le componenti cartesiane della risultante $\mathbf{R}$ sono

\[\begin{split}\begin{split} & R_x = \frac{Q^2 H}{\rho h} \sin \alpha \\ & R_y = - \frac{Q^2 H}{\rho h} (1-\cos \alpha) \ , \end{split}\end{split}\]

riferite agli assi rappresentati in figura.

1: Vedi commento sull’equazione della quantità di moto e sulle traiettorie delle particelle