6.5.8. Exercise 6.8#
Un contenitore cilindrico (raggio \(R\), altezza \(H\)) è riempito fino ad una quota \(h_1 =H/2\) di un liquido di densità \(\rho\). Il contenitore è messo poi in rotazione con velocità angolare costante \(\Omega\). Una volta esaurito il transitorio, viene chiesto di trovare:
la forma che assume il liquido all’interno del contenitore;
la velocità \(\Omega_{max}\) alla quale il liquido inizia a uscire dal contenitore;
il campo di pressione quando il corpo ruota con velocità angolare \(\Omega_{max}\).
(R: \(z_{free}(r) = \dfrac{\Omega^2 r^2}{2 g} - \dfrac{\Omega^2 R^2}{4 g} + \dfrac{H}{2}\) \newline \hspace{0.5cm} \(\Omega_{max} = \sqrt{\dfrac{2 g H}{R^2}} \) \newline \hspace{0.5cm} \(P(r) = \dots\))
Soluzione esatte delle equazioni di Navier-Stokes. Fluido in rotazione rigida, con superficie superiore libera.
Si usano le equazioni di NS in coordinate cilindriche. Seguendo un procedimento analogo a quello svolto per ottenere la soluzione esatta di Taylor-Couette, ma senza trascurare l’effetto della gravità, si ottiene la seguente coppia di equazioni
\[\begin{split}\label{eqn:vessel_cyl} \begin{cases} \dfrac{\partial P}{\partial z} = - \rho g \\ \dfrac{\partial P}{\partial r} = \rho \dfrac{u_{\theta}^2}{r} \end{cases}\end{split}\]Il campo di moto descrive una rotazione rigida, poichè il termine \(1/r\) della soluzione di Taylor-Couette non è ammissibile (l’asse appartiene al dominio, non ha senso una velocità che tende all’infinito). La costante di proporzionalità tra \(u_{\theta}\) ed \(r\) è la velocità angolare \(\Omega\) per soddisfare le condizioni al controno a parete, \(u_{\theta}(R) = \Omega R\).
\[u_{\theta}(r) = \Omega r\]Dall’integrazione delle due equazioni ([eqn:vessel_cyl]{reference-type=»ref» reference=»eqn:vessel_cyl»}) si ottiene il campo di pressione \(P(r,z)\), a meno di una costante di integrazione \(C\)
\[\label{eqn:p} P(r,z) = -\rho g z + \rho \dfrac{\Omega^2 r^2}{2} + C\]La condizione al contorno necessaria è \(P(r,z_{free}(r)) = P_a\); sulla superficie libera, la cui quota è descritta dalla funzione \(z_{free}(r)\) (ancora incognita), agisce la pressione ambiente \(P_a\)
\[\begin{split}P(r,z_{free}(r)) = -\rho g z_{free} + \rho \dfrac{\Omega^2 r^2}{2} + C = P_a \\\end{split}\]\[\ \ \ \ \ \ \Downarrow\]\[\label{eqn:zfree} z_{free}(r) = \dfrac{\Omega^2 r^2}{2 g} - \dfrac{P_a - C}{\rho g}\]Per determinare la costante \(C\) bisogna ricorrere alla conservazione della massa. La massa contenuta all’interno del recipiente non varia (fino a quando il liquido non esce). Se si considera densità costante \(\rho\), bisogna scrivere la conservazione del volume tra istante iniziale \(V_0 = \pi R^2 H/2\) e condizione a regime \(V\). Il volume \(V\) viene calcolato tramite un’integrale di volume, comodo da descrivere in coordinate cilindriche:
\[\begin{split}\begin{aligned} V & = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{R} \int_{z=0}^{z=z_{free}(r)} r dr dz d\theta = \\ & = 2 \pi \int_{r=0}^{r=R} z_free(r) r dr = \\ & = 2 \pi \int_{r=0}^{r=R} \dfrac{\Omega^2 r^3}{2 g} - \dfrac{P_a - C}{\rho g}r dr = \\ & = 2 \pi \left[ \dfrac{\Omega^2 R^4}{8 g} - \dfrac{(P_a - C)}{2 \rho g} R^2 \right] = \\ & = \pi \left[ \dfrac{\Omega^2 R^4}{4 g} - \dfrac{(P_a - C)}{ \rho g} R^2 \right] = \\ \end{aligned}\end{split}\]Uguagliando \(V_0\) e \(V\) si ottiene
\[- \dfrac{(P_a - C)R}{ \rho g} = - \dfrac{\Omega^2 R^4}{4 g} + R^2 \dfrac{H}{2}\]termine che può essere sotituito in ([eqn:zfree]{reference-type=»ref» reference=»eqn:zfree»})
\[\label{eqn:zfree2} z_{free}(r) = \dfrac{\Omega^2 r^2}{2 g} - \dfrac{\Omega^2 R^2}{4 g} + \dfrac{H}{2}\]La superficie libera ha la forma di un parabolide. La concavità del paraboloide è diretta verso l’alto e aumenta all’aumentare di \(|\Omega|\) (il risultato è indipendente dal verso di rotazione, e quindi dal segno di \(\Omega\), poichè compare con potenze pari). La quota del vertice \(z_v = - \dfrac{\Omega^2 R^2}{4 g} + \dfrac{H}{2}\) invece diminuisce.
Per determinare la \(\Omega_{max}\), bisogna imporre la condizione \(z_{free}(r=R) = H\).
\[z_{free}(R) = \dfrac{\Omega_{max}^2 R^2}{4 g} + R^2 \dfrac{H}{2} = H \Rightarrow \Omega_{max} = \sqrt{\dfrac{2 g H}{R^2}}\]Per ottenere il campo di pressione, basta inserire il il valore di \(C\) e \(\Omega_{max}\) nella formula ([eqn:p]{reference-type=»ref» reference=»eqn:p»}).