5.5.5. Exercise 5.5#
Si consideri un getto stazionario, assialsimmetrico, d’acqua in condizioni standard, diretto verso l’alto, in atmosfera uniforme, secondo la verticale \(z\), e uscente con velocit`{a} uniforme e costante \(V = 20\ m/s\) da un ugello circolare di diametro \(d = 5\ cm\). Si assuma che:
la curvatura delle linee di flusso sia trascurabile;
sia trascurabile ogni perdita di energia.
Si determinino:
il diametro \(D\) del getto alla quota \(Z = 15\ m\) (misurata dal piano d’uscita dall’ugello);
la massima quota ideale \(H\) cui pu`{o} giungere il getto.
(\(D = 6.97\ cm\), \(H = 20.39\ m\))
Teorema di Bernoulli nell’ipotesi di stazionarietà, fluido incomprimibile, non viscoso, irrotazionale. Equazione della vorticità nel caso non viscoso.
Il primo quesito del problema viene risolto mettendo a sistema l’equazione di Bernoulli (ipotesi…) e l’equazione della continuità.
\[\begin{split}\begin{cases} \frac{1}{2} \rho V^2 = \frac{1}{2}\rho u^2(z) + \rho g z\\ V d^2 = u(z) D^2 \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad D = \frac{d} {\displaystyle\left[1 - \frac{2 g z}{V^2}\right]^{\frac{1}{4}}}\end{split}\]Inserendo i valori numerici \(D = 6.97 \text{cm}\).
Il secondo quesito si ottiene ricavando dal teorema di Bernoulli la quota alla quale la velocità è nulla.
\[\frac{1}{2} \rho V^2 = \rho g H \qquad \Rightarrow \qquad H = \frac{1}{2} \frac{V^2}{g}\]Inserendo i valori numerici \(H = 20.39 \text{m}\).