7.14.4. Exercise 7.4#
Si vuole studiare con la corrente di aria che esce da un ugello verticale di diametro \(\tilde{D}=0.01\ m\), nell’intervallo di velocità di riferimento \(\tilde{U} \in [1,10] \ m/s\). Si ha a disposizione un codice numerico che risolve le equazioni in forma adimensionale, in cui non è possibile variare le condizioni al contorno, e una sola griglia di calcolo. Si chiede di:
determinare l’intervallo di numeri di Reynolds \(Re\) da inserire nel codice, sapendo che la velocità di riferimento nel codice è \(U=1\) e il diametro nella griglia vale \(D=1\).
la frequenza \(\tilde{f}\) di rilascio di vortici quando \(\tilde{U}=1\ m/s\), sapendo che la frequenza estratta dai risultati numerici è \(f=0.2\);
stimare l’errore compiuto dal codice nel trascurare l’effetto della gravità.
Similitudine fluidodinamica. Numeri di Reynolds e Froude. Ordini di grandezza dei termini.
Affinchè le simulazioni numeriche siano rappresentative della corrente incomprimibile che si vuole studiare, è necessario che ci sia similitudine fluidodinamica tra i due casi: bisogna imporre l’uguaglianza dei numeri di Reynolds
\[Re = \dfrac{\tilde{U}\tilde{D}}{\tilde{\nu}} \approx \dfrac{(1 \div 10) m/s \times 10^{-2}m}{10^{-5}m^2/s} = 10^3 \div 10^4 \ .\]Se la frequenza adimensionale ottenuta dalla simulazione numerica è \(f=0.2\), la frequenza dimensionale viene ottenuta dall’ugualglianza dei numeri di Strouhal, cioè «ri-dimensionalizzando» \(f\) con le grandezze di riferimento usate per l’adimensionalizzazione (\(U\),\(L\),\(\rho\)).
\[\dfrac{f D}{U} = \dfrac{\tilde{f} \tilde{D}}{\tilde{U}} \quad \Rightarrow \quad \tilde{f} = f \dfrac{\tilde{U}}{\tilde{D}} = 0.2 \times \dfrac{1 m/s}{10^{-2} m } = 20 s^{-1} \ .\]Per quantificare l’effetto della gravità, si calcola il valore del numero di Froude. Nelle equazioni di Navier-Stokes adimensionali, compare il numero adimensionale \(g D / U^2 = 1 / Fr^2\) davanti ai termini di forze di volume. Più questo numero è «piccolo», più gli effetti delle forze di volume sono ridotti.
\[\begin{split}\begin{cases} U = 1 m/s & : \qquad 1/Fr^2 \approx 10^{-1} \\ U = 10 m/s & : \qquad 1/Fr^2 \approx 10^{-3} \end{cases}\end{split}\]