4.20.2. Exercise 4.2

Exercise 4.2

Si sta riempiendo una bombola per immersioni subacquee. Sapendo che la pompa aspira aria a pressione ambiente di \(1.01\times10^5\ Pa\) e alla temperatura di \(293\ K\) in un condotto di sezione \(1\ cm^2\) in cui la velocit`a media `e di \(0.5\ m/s\) e che non ci sono perdite nel sistema di pompaggio, determinare la rapidit`a di variazione della massa d’aria e della sua densit`a all’interno della bombola, sapendo che il volume della bombola `e pari a \(0.02 \ m^3\).

(\(\frac{dM}{dt} = 6.01 \times 10^{-5}\ kg/s, \frac{d \rho}{d t} = 3.00 \times 10^{-3}\ kg/(m^3 s)\)).

Concetti. Bilancio integrale della massa. Legge dei gas perfetti.

Svolgimento. Sono date la pressione \(p\) e la temperatura \(T\) all’uscita della pompa. É nota l’area \(S\) della sezione e la velocità media \(U\) su quella sezione. Si trova la variazione di massa all’interno della bombola grazie al bilancio integrale di massa nel volume della bombola \(V\) (volume di controllo, fisso),

\[\dfrac{d M}{d t} = \dfrac{d}{d t} \int_V \rho = -\oint_S \rho \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = :% \rho_{in} S_{in} U \ ,\]

dove si è indicato con \(M\) la massa totale, \(S_{in}\) l’area della sezione del tubo utilizzato per riempire la bombola e \(\rho_{in}\), la densità sulla sezione di ingresso, dove sono note la pressione \(P_{in}\) e la temperatura \(T_{in}\). Ipotizzando che valga la legge di stato dei gas perfetti, la densità sulla sezione di ingresso vale

\[\rho_{in} = \dfrac{P_{in}}{R T_{in}} \ ,\]

dove \(R=287 J/(kg\ K)\) è la costante dei gas per l’aria. La derivata nel tempo della massa d’aria nella bombola vale quindi

\[\frac{d M}{d t} = 6.0 \cdot 10^{-5} \dfrac{kg}{s} \ .\]

Supponendo che la densità dell’aria si uniforme all’interno della bombola, si può calcolare la sua derivata nel tempo,

\[\dfrac{d \rho}{d t} = \dfrac{1}{V} \dfrac{d}{dt} \int_V \rho = 2.0 \cdot 10^{-3} \dfrac{kg}{m^3 s} \ .\]