6.5.4. Exercise 6.4#
Si consideri una corrente d’acqua a pelo libero, laminare e stazionaria, che scorre su una parete verticale piana di lunghezza e apertura infinita. Si ipotizzi che la pressione atmosferica che agisce sul pelo libero sia uniforme. Si ipotizzi inoltre che lo sforzo tangenziale fra acqua e aria in corrispondenza del pelo libero sia nullo.
Assegnata la portata in massa per unità di apertura \(\overline{Q}=0.5\ kg/(ms)\), determinare
lo spessore \(h\) della corrente d’acqua;
lo sforzo tangenziale a parete;
la velocit`a in corrispondenza del pelo libero;
la velocit`a media e il numero di Reynolds basato su tale velocit`a media e sullo spessore della corrente.
Si sostituisca poi al pelo libero una parete solida. Si determini quale dovrebbe essere la velocit`a di tale parete per ottenere una portata nulla.
Dati: \(\overline{\rho}= 999\ kg/m^3\), \(\overline{\mu}= 1.15\ 10^{-3} kg/(ms)\).
(\(h=5.61\, 10^{-4}\ m\), \(\tau = 5.494\ Pa\), \(u(h)=1.339\ m/s\),
Semplificazione delle equazioni di NS in casi particolari. Soluzioni esatte in coordinate cartesiane.
Si scelga un sistema di riferimento cartesiano con l’asse x orientato lungo la parete verso il basso e l’asse y perpendicolare ed uscente ad essa.
Sulla corrente di questo problema agisce la forza di volume dovuta alla gravità.
L’ipotesi che la pressione sia uniforme sulla superficie di interfaccia tra acqua e aria implica che la pressione è costante in tutto il fluido: si vedrà che \(\frac{\partial p}{\partial y}=0\); se sulla superficie libera la pressione è costante e non varia nello spessore, allora la pressione è costante in tutto il fluido.
Scrittura delle equazioni di NS in 2 dimensioni.
\[\begin{split}\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} - \nu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} = f_x \\ \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} - \nu \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \right) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} = f_y \\ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \end{cases}\end{split}\]Semplificazione delle equazioni di NS per il problema da affrontare.
Ipotesi:
problema stazionario: \(\frac{\partial}{\partial t} = 0\);
direzione x omogenea (canale infinito in direzione x): \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x} = 0\); la pressione nelle equazioni di NS incomprimibili è un moltiplicatore di Lagrange per imporre il vincolo di incomprimibilità; inoltre non appare mai, se non nelle condizioni al contorno, come \(p\) ma solo con le sue derivate spaziali: quindi non è corretto imporre \(= \frac{\partial v}{\partial x} = 0\), nonostante la direzione \(x\) sia omogenea;
\(\frac{\partial u}{\partial x} = 0\) inserito nel vincolo di incomprimibilità (\(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\)) implica \(\frac{\partial v}{\partial y}=0\); poichè \(\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0\) e \(v = 0\) a parete per la condizione al contorno di adesione, segue che \(v = \text{cost} = 0\);
forze di volume solo in direzione verticale: per come sono stati orientati gli assi, \(\mathbf{f} = g \hat{\mathbf{x}}\).
\[\begin{split}\begin{cases} - \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = - \frac{\partial p}{\partial x} + \rho g\\ \frac{\partial p}{\partial y} = 0 \end{cases}\end{split}\]Dalla seconda segue che la pressione può essere funzione solo di \(x\). Come già detto in precedenza, la pressione sulla superficie libera è costante e uguale alla pressione ambiente \(P_a\): se la pressione non può variare nello spessore, allora è costante ovunque. La derivata parziale \(\frac{\partial p} {\partial x}=0\), il suo gradiente è nullo e quindi la pressione è costante in tutta la corrente di acqua.
Nella prima, il termine a sinistra dell’uguale è funzione solo di \(y\); quello di destra è costante e uguale a \(\rho g\). Le condizioni al contorno sono di adesione a parete e di sforzo di taglio nullo all’interfaccia tra aria ed acqua: \(0=\tau(H)=\mu \frac{\partial u}{\partial y}(H)=\mu u'(H)\), dove la derivata parziale in \(y\) è stata sostituita da quella ordinaria, poichè la velocità è solo funzione di \(y\).
\[\begin{split}\begin{cases} - \mu u''(y) = \rho g \ , \ y \in[0,H] \\ u(0) = 0 \\ u'(H) = 0 \end{cases}\end{split}\]Soluzione dell’equazione differenziale (semplice) con dati al contorno.
Risulta:
\[\Rightarrow u(y) = - \frac{\rho g}{2 \mu} y^2 + \frac{\rho g}{\mu} H y\]Calcolo della portata come integrale della velocità; si trova così la relazione tra Q ed H.
\[Q = \int_{0}^{H} \rho u(y) dy = \frac{1}{3}\frac{\rho^2 g}{\mu} H^3\]E quindi
\[H = \left( \frac{3 Q \mu}{\rho^2 g} \right) ^ {\frac{1}{3}} \quad \Rightarrow \quad H = 5.61 \cdot 10^{-4} m\]Calcolo dello sforzo a parete
\[\tau = \mu u'|_{y=0} = \rho g H \quad \Rightarrow \quad \tau = 5.494 Pa\]Osservazione. Equilibrio con la forza di gravità (problema stazionario).
Calcolo di \(u(H)\).
\[u(H) = \frac{1}{2}\frac{\rho g}{\mu} H^2 \quad \Rightarrow \quad u(H) = 1.342 m/s\]Calcolo velocità media e numero di Reynolds.
\[\bar{U} = \frac{1}{H}\int_{0}^{H} u(y) dy = \frac{Q}{\rho H} \quad \Rightarrow \quad \bar{U} = \frac{Q}{\rho H} = \frac{2}{3}u(H) = 0.895 m/s\]\[Re = \frac{\rho \bar{U} H}{\mu} \quad \Rightarrow \quad Re = 434.8\]
L’ultima parte del problema chiede di sostiutire alla superficie libera, una parete infinita. L’equazione trovata in precedenza è ancora valida; è necessario però sostituire la condizione di sforzo tangenziale nullo con adesione su una parete mobile con velocità costante \(U\).
Il profilo di velocità è:
dove la velocità \(U\) è ancora incognita. Per trovarne il valore, si calcola la portata e la si pone uguale a zero. La portata è uguale a
Imponendo \(Q=0\),