4.20.1. Exercise 4.1

Exercise 4.1

Si consideri una rete idraulica come quella rappresentata in figura. All’interno dei tubi scorre acqua. Sia nota le velocit`a media dell’acqua all’interno di alcuni dei rami della rete: \(U_1 = 1\, m/s\), \(U_2 = 1.5\, m/s\), \(U_3 = 0.5\, m/s\), \(U_7 = 2\, m/s\) e \(U_8 = 0.3\, m/s\). Il verso della velocit`a è indicato dalle frecce sul disegno. Determinare la portata volumetrica, la portata in massa e la velocit`a media all’interno di ciascun ramo della rete sapendo che l’acqua ha una densit`a pari a \(\overline{\rho} = 999\ kg/m^3\), e che il diametro dei tubi `e rispettivamente \(D_1=0.4\ m\), \(D_2=0.2\ m\), \(D_3=0.2\ m\), \(D_4=0.3\ m\), \(D_5=0.5\ m\), \(D_6=0.25\ m\), \(D_7=0.3\ m\), \(D_8=0.6\ m\).

(\(Q_1 = 0.13\ m^3/s\), \(Q_2 = 0.05\ m^3/s\), \(Q_3 = 0.02\ m^3/s\), \(Q_4 = 0.13\ m^3/s\), \(Q_5 = 0.06\ m^3/s\), \(Q_6 = 0.13\ m^3/s\), \(Q_7 = 0.14\ m^3/s\), \(Q_8 = 0.08\ m^3/s\), \(U_1 = 1 \ m/s\), \(U_2 = 1.5\ m/s\), \(U_3 = 0.5\ m/s\), \(U_4 = 1.87\ m/s\), \(U_5 = 0.29\ m/s\), \(U_6 = 2.69\ m/s\), \(U_7 = 2 \ m/s\), \(U_8 = 0.3\ m/s\), \(\overline{Q}_1 = 125.5\ kg/s\), \(\overline{Q}_2 = 47.08\ kg/s\), \(\overline{Q}_3 = 15.69\ kg/s\), \(\overline{Q}_4 = 131.8\ kg/s\), \(\overline{Q}_5 = 54.49\ kg/s\), \(\overline{Q}_6 = 131.8\ kg/s\), \(\overline{Q}_7 = 141.2\ kg/s\), \(\overline{Q}_8 = 84.74\ kg/s\))

Concetti. Bilancio integrale della massa. Teoria delle reti: bilancio ai nodi.

Svolgimento. Se il regime di moto è stazionario, la portata massica è costante e indipendente dalla sezione considerata all’interno di ogni singolo tubo. Il bilancio di massa nell”\(i\)-esimo tubo è,

\[\underbrace{\dfrac{d}{dt} \int_{V_i} \mathbf{\rho}}_{=0} = \oint_{S_i} \rho \mathbf{u} \cdot \mathbf{\hat{n}} = \oint_{S_{i,{\alpha}}}\rho \mathbf{u} \cdot \mathbf{\hat{n}} + \oint_{S_{i,\beta}} \rho \mathbf{u} \cdot \mathbf{\hat{n}} = \tilde{Q}_{i,\alpha} + \tilde{Q}_{i,\beta} \quad \rightarrow \quad \tilde{Q}_{i,\alpha} = - \tilde{Q}_{i,\beta} \ ,\]

avendo indicato \(S_{i,{\alpha}}\) e \(S_{i,{\beta}}\) le due sezioni in «ingresso» e «uscita» del tubo \(V_i\), con \(\mathbf{\hat{n}}\), \(\tilde{Q}_{\alpha}\) e \(\tilde{Q}_{\beta}\) la normale uscente e i flussi di massa uscenti dal volume \(V_i\). Se si calcola il flusso di massa \(\overline{Q}_i\) attraverso le sezioni del tubo con normale identificata dal «verso di percorrenza» del tubo, uno dei due termini cambia segno e si dimostra che la portata è costante sulle sezioni del singolo tubo,

\[\overline{Q}_{i,\alpha} = \overline{Q}_{i,\beta} =: \overline{Q}_{i} \ .\]

Utilizzando il verso delle frecce indicato in figura per stabilire il segno dei flussi di massa, il bilancio di massa ai nodi porta al sistema lineare,

\[\begin{split}\begin{cases} \overline{Q}_1 + \overline{Q}_2 + \overline{Q}_3 - \overline{Q}_4 - \overline{Q}_5 = 0 & \text{(bil. al nodo in alto)} \\ \overline{Q}_5 + \overline{Q}_8 - \overline{Q}_7 = 0 & \text{(bil. al nodo a sinistra)} \\ \overline{Q}_4 - \overline{Q}_6 = 0 & \text{(bil. al nodo a destra)} \ , \\ \end{cases}\end{split}\]

nel quale le incognite sono i flussi \(\overline{Q}_4\), \(\overline{Q}_5\), \(\overline{Q}_6\), una volta calcolati gli altri flussi con i dati forniti dal testo del problema, \(\overline{Q}_k = \rho \frac{\pi}{4}D_k^2 U_k\), \(k=1,2,3,7,8\). Successivamente si calcolano le portate volumetriche \(Q_k\) incognite, dividendo le portate massiche \(\overline{Q}_k\) per la densità \(\rho\),

\[Q_k = \dfrac{\overline{Q}_k}{\rho} \quad , \quad k = 1:8 \ .\]