6.5.2. Exercise 6.2#
Una corrente di Poiseuille di acqua (\(\rho = 1000 / kg/m^3\), \(\mu = 10^{-3} \ kg/(m s)\)) scorre in un canale di altezza \(H = 1 \ cm\). Un manometro misura la differenza di pressione tra le sezioni in \(x_A = 1.0 \ m\) e \(x_B= 2.0 \ m\). Determinare:
il gradiente di pressione all’interno del condotto, conoscendo la densità del liquido barometrico \(\bar{\rho} = 1200 \ kg/m^3\) e la differenza di quote \(h = 5 \ mm\);
la velocità massima all’interno del canale;
la risultante \(\mathbf{R}\) delle forze esercitata dal fluido sul tratto di parete superiore compreso tra A e B, sapendo che sulla sezione \(x = 0 \ m\) la pressione vale \(p_0 = 10^5 \ Pa\). Qual è la relazione tra \(R_x\) e \(p_A - p_B\)? Commento.
Soluzione esatte delle equazioni di Navier-Stokes. Corrente di Poiseuille nel canale piano 2D. Manometro: leggi della statica (Stevino).
Per trovare la derivata in direzione \(x\) della pressione all’interno del canale (\(\partial P/\partial x = - G_P = cost.\) per la corrente di Poiseuille) risolve il problema di statica all’interno del manometro. Facendo riferimento al disegno, si utilizza Stevino tra i punti \(A'-Q_1\), \(Q_1-Q_2\), \(Q_2-B'\) e l’informazione di derivata della pressione costante in direzione \(x\) all’interno del canale, tra \(A'\) e \(B'\).
\[\begin{split}\begin{cases} p_{A'} = p_{Q_1} - \rho g z_{Q_1} \\ p_{Q_1} - \bar{\rho} g z_{Q_1} = p_{Q_2} - \bar{\rho} g z_{Q_2} \\ p_{B'} = p_{Q_2} - \rho g z_{Q_2} \\ p_{A'} - p_{B'} = G_P \Delta x \end{cases} \Rightarrow G_P = \dfrac{1}{\Delta x}(\bar{\rho}-\rho) g \Delta h\end{split}\]avendo svolto correttamente i conti e riconosciuto \(z_{Q_2} - z_{Q_1} = \Delta h\).
Ricordando che il profilo di velocità di Poiseuille risulta \(\mathbf{u} = \mathbf{\hat{x}} u(y)\), con
\[u(y) = -\dfrac{G_P}{2 \mu} y (y-H),\]la velocità massima all’interno del canale è \(V = u(H/2) = \dfrac{G_P}{8 \mu} H^2\)
Per calcolare la risultante degli sforzi sul tratto \(A-B\) della parete superiore, è necessario calcolare il vettore sforzo agente su di essa e svolgere un semplice integrale. Il vettore sforzo agente sulla parete superiore risulta
\[\mathbf{t} = - \mu \dfrac{\partial u}{\partial y}\bigg|_{y=H} \mathbf{\hat{x}} + p(x,H) \mathbf{\hat{y}} \ .\]La pressione \(p(x,H)\) sulla parete superiore, per \(x \in [x_A,x_B]\) si calcola come segue: si parte dall’origine del sistema di riferimento \(O\), in corrispondenza della quale è noto il valore della pressione \(p_0\) e ci si muove in orizzontale ricordando che \(\partial P/\partial x = -G_P\) e in verticale ricordando che \(\partial P/\partial y = -\rho g\).
\[\begin{split}\begin{aligned} p_{A'} & = p_0 - G_P x_A \\ p_{A } & = p_{A'} - \rho g H \\ % p_{B } & = p_{A} - G_P (x_B - x_A) \\ \\ \end{aligned} \qquad \rightarrow \qquad p(x,H) = p_{A} - G_P ( x -x_A )\end{split}\]Lo sforzo tangenziale sulla parete è costante e vale
\[- \mu \dfrac{\partial u}{\partial y}\bigg|_{y=H} = \dfrac{G_P}{2} H\]La risultante delle forze (per unità di lunghezza, poichè il problema è bidimensionale) si ottiene integrando lo sforzo tra \(A\) e \(B\). Facendo comparire il valore \(p_B\) della pressione in \(B\), l’espressione della risultante delle forze diventa
\[\mathbf{R} = \dfrac{G_P}{2} H \Delta x \mathbf{\hat{x}} + \dfrac{1}{2}(p_A + p_B) \Delta x \mathbf{\hat{y}} \ .\]