7.14.5. Exercise 7.5#

Exercise 7.5

Si deve progettare un condotto che trasporti un fluido con densità \(\rho_1\) e viscosità \(\mu_1\), di diametro \(d_1\) e lunghezza \(L_1\). Si suppone che la rugosità della superficie interna del condotto possa essere descritta interamente dall’altezza media \(\epsilon_1\) delle asperità. Il condotto deve garantire una portata massica \(Q_1\). Viene realizzato un modello in scala \(\lambda = d_2 / d_1\) del condotto di lunghezza \(L_2\), nel quale viene fatto scorrere lo stesso fluido alle stesse condizioni termodinamiche. Si chiede di determinare:

  • la finitura superficiale della superficie interna del modello, in termini di dimensione caratteristica della rugosità \(\epsilon_2\);

  • la velocità media di prova \(U_2\);

  • la differenza di pressione da imporre alle estremità del condotto al vero, conoscendo che la differenza di pressione \(\Delta P_2\) misurata in laboratorio.

Si supponga il fluido incomprimibile.

Teorema di Buckingham. Similitudine fluidodinamica.

Il problema è caratterizzato dal fluido utilizzato, dalla geometria del condotto e dal gradiente di pressione necessario a garantire la portata desiderata. Si può scrivere in maniera implicita

\[f\left( \dfrac{\Delta P}{\Delta x}, U, \rho, \mu, d, \epsilon \right) = 0\]

avendo scelto come grandezza fisica caratteristica del problema il gradiente di pressione \(\dfrac{\Delta P}{\Delta x}\) e non il salto di pressione e la lunghezza del tubo prese indipendentemente. Il teorema di Buckingham garantisce che il problema può essere caratterizzato da 3 numeri adimensionali (6 grandezze fisiche - 3 grandezze fondamentali (M,L,T)). Se si scelgono \(\rho\), \(U\), \(d\) come grandezze di riferimento, si possono costruire i tre numeri adimensionali come

\[\pi_1 = \dfrac{\Delta P}{\Delta x} \dfrac{d}{\rho U^2} = f_D \qquad \pi_2 = \dfrac{\mu}{\rho U d} = 1/Re \qquad \pi_3 = \dfrac{\epsilon}{d} = \epsilon' \label{eqn:pi}\]

Il problema può essere quindi scritto in forma implicita come:

\[g(f_D,Re,\epsilon') = 0.$$ Esplicitando $f_D$: $$f_D = h(Re,\epsilon') \qquad \dfrac{\Delta P}{\Delta x} = \dfrac{\rho U^2}{d} f_D(Re,\epsilon').\]

Affinchè sia verificata la similitudine fluidodinamica, ci deve essere l’uguaglianza dei numeri di Reynolds \(Re\) e delle rugosità adimensionalizzate \(\epsilon'\).

  • Dall’uguaglianza delle rugosità adimensionalizzate $\(\epsilon'_1 = \epsilon'_2=:\epsilon' \quad \Rightarrow \quad \epsilon_2 = \epsilon_1 \dfrac{d_2}{d_1} = \lambda \epsilon_1.\)\( Per il modello è quindi necessaria una lavorazione che garantisca una finitura superficiale migliore rispetto al condotto al vero (\)\lambda \le 1$).

  • La velocità media al vero \(U_1\) viene ricavata grazie alla richiesta dellaportata desiderata.

    \[U_1 = \dfrac{Q}{\rho \frac{\pi}{4} d_1^2}\]

    Per ottenere la similitudine fluidodinamica si impone l’uguaglianza dei numeri di Reynolds

    \[Re_1 = Re_2=:Re \quad \Rightarrow \quad U_2 = U_1 \dfrac{\rho_1 d_1 \nu_2}{\rho_2 d_2 \nu_1} = U_1 \dfrac{d_1}{d_2}\]

    poichè la densità e la viscosità del fluido «di prova» sono le stesse di quelle del fluido «al vero».

  • Il rapporto tra la differenza di pressione \(\Delta P_2\) misurata sul condotto modello e la lunghezza del condotto modello \(L_2\) permette di stimare il gradiente di pressione \(\dfrac{\Delta P}{\Delta x}\Big|_2 = \dfrac{\Delta P_2}{L_2}\). Sfruttando ancora una volta la similitudine fluidodinamica

    \[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\Delta P_2}{L_2} = \dfrac{\rho_2 U_2^2}{d_2} f_D(Re,\epsilon') \\ \dfrac{\Delta P_1}{L_1} = \dfrac{\rho_1 U_1^2}{d_1} f_D(Re,\epsilon') \\ \end{cases} \Rightarrow \Delta P_1 = \Delta P_2 \dfrac{\rho_1 U_1^2}{\rho_2 U_2^2} \dfrac{d_2}{d_1} \dfrac{L_1}{L_2}\end{split}\]

    Dall’uguaglianza delle densità \(\rho_1/\rho_2 = 1\); dall’uguaglianza dei numeri di Reynolds (e delle densità e viscosità) \(U_1^2/U_2^2 = d_2^2/d_1^2\). La formula può quindi essere semplificata

    \[\Delta P_1 = \Delta P_2 \dfrac{d^3_2}{d^3_1} \dfrac{L_1}{L_2} = \Delta P_2 \lambda^3 \dfrac{L_1}{L_2}\]

7.14.5.1. Diagramma di Moody.#

Il diagramma di Moody riporta il coefficiente \(f_D\) in funzione del numero di \(Re\) e della rugosità del tubo. Si possono individuare due regimi estremi del problema. Per «basse velocità» (o meglio, bassi numeri di Reynolds), si può intuire che gli effetti della viscosità prevalgano sugli effetti inerziali; inoltre, gli effetti della rugosità sono minimi. Si può quindi pensare che il problema sia indipendente dalla densità del fluido e dalla rugosità del tubo e descrivibile in forma implicita come

\[ \begin{align}\begin{aligned}f_L (\Delta P / \Delta x, \mu, U, d) = 0$$ Si può\\descrivere il problema solo con un numero adimensionale. Scegliendo $\mu$, $U$, $d$ come grandezze di riferimento, si può scrivere\\$$\pi_{1,L} = \dfrac{\Delta P}{\Delta x} \dfrac{d^2}{\mu U}\end{aligned}\end{align} \]

Il problema può essere scritto in forma implicita \(g_L(\pi_{1,L}) = 0\). Poichè la funzione \(g_L\) dipende solo dal coefficiente \(\pi_{1,L}\), il coefficiente \(\pi_{1,L}\) deve essere costante. Il gradiente di pressione può essere scritto

\[\dfrac{\Delta P}{\Delta x} = \pi_{1,L} \dfrac{\mu U}{d^2} = \dfrac{\rho U^2}{d} f_D\]

avendo usato la definizione di \(f_D\) introdotta nell’equazione ([eqn:pi]{reference-type=»ref» reference=»eqn:pi»}). É quindi possibile stimare l’andamento del coefficiente \(f_D\), per bassi numeri di Reynolds, invertendo l’equazione precedente. Si scopre che il coefficiente \(f_D\) è inversamente proporzionale al numero di Reynolds.

$\(f_D = \pi_{1,L} \dfrac{\mu}{\rho U d} = \pi_{1,L} \dfrac{1}{Re}\)$.

Per bassi numeri di Reynolds, il parametro \(f_D\) in funzione di \(Re\) mostra un andamento lineare in un diagramma con assi logaritmici, a conferma della correttezza della stima appena svolta.

Si può ragionare in maniera analoga per il regime di moto estremo opposto, dove gli effetti della viscosità sono trascurabili. Si scopre che il coefficiente \(f_D\) è funzione solo della rugosità adimensionale \(\epsilon\), mentre non dipende dal numero di Reynolds. Per alti numeri di Reynolds, il parametro \(f_D\) è descritto da curve che tendono a un valore costante, che dipende dal valore della rugosità adimensionale \(\epsilon'\).

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