7.14.1. Exercise 7.1#

Exercise 7.1

La velocità di pattugliamento di un sottomarino vale \(V_v = 2.5\ m/s\). Considerando che il sottomarino si muova in acqua in condizioni standard, a quale velocit`{a} deve essere provato un modello in scala \(\lambda = 1/10\), avendo a disposizione rispettivamente:

  • una galleria ad acqua in condizioni standard,

  • una galleria ad aria a pressione di \(10 \ bar\) e temperatura di \(30^\circ C\)?

Se la resistenza al vero vale \(D_v=6000\ N\), quanto vale la resistenza sui modelli in scala nei due casi?

(Galleria ad aria: \(V_m = 35.17\ m/s\), \(D_m = 136.1\ N\). Galleria ad acqua: \(V_m = 25\ m/s\), \(D_m = 6000\ N\).)

Similitudine fluidodinamica per correnti incomprimibili, numero di Reynolds,

\[Re = \frac{\rho U L}{\mu} \ .\]

Formula di Sutherland per la viscosità dinamica dei gas,

\[\mu(T) = \mu_0 \displaystyle\left(\frac{T}{T_0}\right)^{1.5} \frac{C+T_0}{C+T} \ .\]

Azioni agenti sul modello e coefficienti di forza.

La velocità sul modello si trova tramite l’uguaglianza dei numeri di Reynolds,

\[\frac{\rho_v U_v L_v}{\mu_v} = \frac{\rho_m U_m L_m}{\mu_m} \quad \rightarrow \quad U_m = U_v \frac{\rho_v L_v}{\rho_m L_m} \ . \frac{\mu_m}{\mu_v}\]

Per trovare la viscosità dell’aria viene utilizzata la formula di Sutherland (per l’aria i coefficienti sono \(T_0 = 288 K\), \(C = 110.4 K\), \(\mu_0 = 18.27 \mu Pa s\)). Il coefficienti di viscosità dinamica dell’acqua in condizioni standard è dell’ordine di \(10^{-3} \ kg / (m \ s)\). La forza agente aerodinamica agente sul corpo, la cui superficie esterna è indicata con \(S\), è la risultante degli sforzi di superficie esterna del corpo \({S_b}\),

\[\begin{aligned} \mathbf{F} = \oint_S \mathbf{t}_{\mathbf{n}} = \oint_S -p \mathbf{\hat{n}} + \mu [\mathbf{\nabla} \mathbf{u} + \mathbf{\nabla}^{T} \mathbf{u}] \cdot \mathbf{\hat{n}} \end{aligned}\]

Vengono scelte la densità caratteristica del fluido \(\rho\), una velocità caratteristica della corrente \(U\) e una lunghezza caratteristica del problema \(L\), per definire la scala della pressione \(P = \rho U^2\). Raccogliendo le dimensioni fisiche fuori dal segno di integrale è quindi possibile scrivere,

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{F} & = \oint_{S_b} -P p^*\mathbf{\hat{n}} + \frac{\mu U}{L} [\mathbf{\nabla}^* \mathbf{u}^* + \mathbf{\nabla}^{*T} \mathbf{u}^*] \mathbf{\hat{n}} = & \qquad \text{($P = \rho U^2$, $dS = L^2 dS^*$)} \\ & = \rho U^2 L^2 \oint_{S_b^*} - p^*\mathbf{\hat{n}} + \frac{1}{Re} [\mathbf{\nabla}^* \mathbf{u}^* + \mathbf{\nabla}^{*T} \mathbf{u}^*] \mathbf{\hat{n}} = \\ & = \dfrac{1}{2}\rho U^2 S \mathbf{c}_{\mathbf{F}}(Re) \ , \end{aligned}\end{split}\]

avendo introdotto il coefficiente di forza \(\mathbf{c}_{\mathbf{F}}\),

\[\mathbf{c}_{\mathbf{F}} = 2 \dfrac{L^2}{S} \oint_{S_b^*} - p^*\mathbf{\hat{n}} + \frac{1}{Re} [\mathbf{\nabla}^* \mathbf{u}^* + \mathbf{\nabla}^{*T} \mathbf{u}^*] \mathbf{\hat{n}}\]

che può dipendere dalle variabili fisiche solo attraverso i numeri adimensionali del problema (in questo caso solo da \(Re\), per problemi comprimibili anche da \(M\)) e che rappresenta la forza agente sul corpo adimensionalizzata con la pressione dinamica \(\frac{1}{2}\rho U^2\) e con una supreficie di riferimento del corpo \(S\). La superficie di riferimento \(S\) scala con \(L^2\) (\(S = a L^2\), \(a\) costante). Si può scrivere la risultante delle forze sul modello e al vero come

\[\begin{split}\begin{cases} \mathbf{F}_m = \dfrac{1}{2}\rho_m U_m^2 S_m^2 \mathbf{c_F}(Re_m) \\ \mathbf{F}_v = \dfrac{1}{2}\rho_v U_v^2 S_v^2 \mathbf{c_F}(Re_v) \ . \end{cases}\end{split}\]

Poichè è soddisfatta la similitudine fluidodinamica, i valori dei coefficienti di forza del modello e «al vero» sono uguali. Si può quindi scrivere

\[\mathbf{F}_m = \dfrac{\rho_m}{\rho_v} \left( \dfrac{U_m}{U_v} \right)^2 \left( \dfrac{S_m}{S_v} \right) \mathbf{F}_v = \dfrac{\rho_m}{\rho_v} \left( \dfrac{U_m}{U_v} \right)^2 \left( \dfrac{L_m}{L_v} \right)^2 \mathbf{F}_v = \dfrac{\rho_m}{\rho_v} \left( \dfrac{U_m}{U_v} \right)^2 \lambda^2 \mathbf{F}_v \ ,\]

Nel caso della galleria ad acqua, nella quale il fluido è lo stesso e nello stesso stato termodinamico della situazione reale (\(\rho_m = \rho_v\), \(\mu_m = \mu_v\)), l’uguaglianza dei numeri di Reynolds si semplifica in

\[\dfrac{\rho_m U_m L_m}{\mu_m} = \dfrac{\rho_v U_v L_v}{\mu_v} \quad \rightarrow \quad U_m L_m = U_v L_v \ .\]

Quindi, in questo caso la forza agente sul modello di galleria coincide con la forza agente sul corpo nella situazione reale,

\[\mathbf{F}^{H_2O,s}_m = \mathbf{F}^{H_2O,s}_v \ .\]