4.20.11. Exercise 4.10#

Exercise 4.10

Viene dato l’irrigatore rappresentato in figura, del quale sono note le sue dimensioni geometriche, \(R_0\), \(R_1\), \(\ell\), \(h\). L’irrigatore è libero di ruotrare attorno all’asse \(z\). Si conosce la densità del fluido \(\rho\) e la velocità ``di ingresso”” \(U_0\) uniforme sulla sezione \(S_0\). Supponendo

  • la pressione uniforme sulle sezioni \(S_0\), \(S_1\), \(S_2\) e uguale alla pressione atmosferica dell’aria attorno all’irrigatore

  • la \textbf{velocità relativa} rispetto al moto dell’irrigatore uniforme sulle sezioni \(S_1\), \(S_2\),

  • gli effetti gravitazionali trascurabili

viene chiesto di calcolare la velocità \(V\) e la velocità di rotazione dell’irrigatore \(\Omega\), a regime.

Si scrivono i bilanci integrali di massa e momento della quantità di moto per il volume fluido \(V_t\) contenuto all’interno dell’irrigatore, delimitato dalla parete interna dell’irrigatore \(S_{f,s}\), dalla sezione di ingresso \(S_0\) e dalle due di uscita \(S_1\), \(S_2\). Si introducono due sistemi di riferimento cartesiani, uno inerziale, \(\left\{ \mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}} \right\}\), l’altro solidale con l’irrigatore, \(\left\{ \mathbf{\hat{X}}, \mathbf{\hat{Y}}, \mathbf{\hat{Z}} \right\}\), con l’asse \(Z\) coincidente con l’asse \(z\). Il bilancio di massa per un volume \(V_t\),

\[\dfrac{d}{dt} \int_{V_t} \rho + \oint_{\partial V_t} \rho \left(\mathbf{u} - \mathbf{b} \right) \cdot \mathbf{\hat{n}} = 0 \ ,\]

viene semplificato

  • utilizzando l’ipotesi di stazionarietà1 del problema

  • riconoscendo che la superficie \(S_{s,f}\) non dà contributo al bilancio, poiché la velocità del fluido sul contorno solido deve essere uguale alla velocità del corpo, per la condizione al contorno di adesione: \(\mathbf{u} = \mathbf{b}\) in ogni punto di \(S_{s,f}\). Anche se fosse stato utilizzato un modello non viscoso per rappresentare il problema, sarebbe valida la condizione al contorno di non penetrazione: \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{\hat{n}} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{\hat{n}}\) su tutti i punti di \(S_{s,f}\);

  • la velocità della superficie \(S_0\) è nulla, \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\) su \(S_0\) e quindi la velocità relativa coincide con la velocità assoluta \(\mathbf{U_0} = U_0 \mathbf{\hat{z}}\), dato del problema;

  • per i dati del problema, la velocità relativa del fluido sulle sezioni \(S_1\), \(S_2\) è uniforme: \(\mathbf{u}-\mathbf{b} = V \mathbf{\hat{X}}\) su \(S_1\), \(\mathbf{u}-\mathbf{b} = -V \mathbf{\hat{X}}\) su \(S_2\)

Dal bilancio di massa si trova quindi il modulo della velocità relativa della corrente sulle sezioni \(S_1\), \(S_2\),

\[0 = - \rho U_0 \pi R_0^2 + 2 \rho V \pi R_1^2 \qquad \rightarrow \qquad V = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{R_0}{R_1}\right)^2 U_0 \ .\]

Il bilancio del momento della quantità di moto per il volume fluido \(V_t\),

\[\dfrac{d}{dt} \int_{V_t} \rho \mathbf{r} \times \mathbf{u} + \int_{\partial V_t} \rho \mathbf{r} \times \mathbf{u} \left( \mathbf{u} - \mathbf{b} \right) \cdot \mathbf{\hat{n}} = \int_{V_t} \rho \mathbf{r} \times \mathbf{g} + \int_{\partial V_t} \mathbf{r} \times \mathbf{t_n} \ .\]

Senza riportare i dettagli (TODO: riportare i dettagli) usando l’ipotesi che gli effetti gravitazionali trascurabili e che la pressione sia uniforme sulle superfici \(S_0\), \(S_1\), \(S_2\) e uguale alla pressione atmosferica attorno al’irrigatore, il bilancio del momento di quantità di moto diventa

\[\mathbf{M}^s = - \dfrac{d}{dt} \int_{V_t} \rho \mathbf{r} \times \mathbf{u} - \oint_{\partial V_t} \rho \mathbf{r} \times \mathbf{u} \left( \mathbf{u} - \mathbf{b} \right) \cdot \mathbf{\hat{n}} \ ,\]

avendo messo in evidenza la risultante dei momenti \(\mathbf{M}^s\) agenti sul solido, rispetto all’origine dei sistemi di riferimento. Il contributo della superficie laterale \(S_{s,f}\) è nullo, poiché è nullo il termine \((\mathbf{u}-\mathbf{b}) \cdot \mathbf{\hat{n}}\); il contributo della superficie \(S_0\) è nullo per simmetria. Si può dimostrare (TODO: riportare i dettagli) che il termine con la derivata temporale non genera un momento attorno all’asse \(z\) di rotazione dell’irrigatore, e scrivere

\[\begin{split}\begin{aligned} M^s_z & = - \mathbf{\hat{z}} \cdot \oint_{\partial V_t} \rho \mathbf{r} \times \mathbf{u} \left( \mathbf{u} - \mathbf{b} \right) \cdot \mathbf{\hat{n}} = {\color{red} (...)} \\ & = - 2 \, \mathbf{\hat{z}} \cdot \oint_{S_1} \rho \mathbf{r} \times \mathbf{u} \left( \mathbf{u} - \mathbf{b} \right) \cdot \mathbf{\hat{n}} \ , \end{aligned}\end{split}\]

avendo riconosciuto che i contributi al momento delle superfici \(S_1\) e \(S_2\) sono uguali. Calcoliamo ora il termine di superficie, esprimendo tutti i termini nel sistema di coordinate solidale con l’irrigatore,

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{b} = \mathbf{\Omega} \times \mathbf{r} & = \Omega \mathbf{\hat{Z}} \times \left( X \mathbf{\hat{X}} + Y \mathbf{\hat{Y}} + Z \mathbf{\hat{Z}} \right) = -\Omega Y \mathbf{\hat{X}} + \Omega X \mathbf{\hat{Y}} \\ \left( \mathbf{u} - \mathbf{b} \right) \cdot \mathbf{\hat{n}} = \mathbf{u}_{rel} \cdot \mathbf{\hat{n}} & = V \mathbf{\hat{X}} \cdot \mathbf{\hat{X}} = V \\ \mathbf{r} \times \mathbf{u} = \mathbf{r} \times (\mathbf{u}_{rel} + \mathbf{b} ) & = \left( X \mathbf{\hat{X}} + Y \mathbf{\hat{Y}} + Z \mathbf{\hat{Z}} \right) \times \left[ \left(V-\Omega Y\right)\mathbf{\hat{X}} + \Omega X \mathbf{\hat{Y}} \right] = \\ & = - \Omega X Z \mathbf{\hat{X}} + \left( V - \Omega Y \right) Z \mathbf{\hat{Y}} + \left[ \Omega \left( X^2 + Y^2 \right) - V \, Y \right] \mathbf{\hat{Z}} \ , \end{aligned}\end{split}\]

e usando un sistema di coordinate polari con origine nel centro della sezione circolare \(S_1\),

\[\begin{split}\begin{cases} X = h \\ Y = \ell + r \cos\theta \\ Z = r \sin\theta \\ \end{cases}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{aligned} - \dfrac{M_z^s}{2} & = \mathbf{\hat{z}} \cdot \oint_{S_1} \rho \mathbf{r} \times \mathbf{u} \left( \mathbf{u} - \mathbf{b} \right) \cdot \mathbf{\hat{n}} = \\ & = \rho \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R_1} \left[ \Omega\left( h^2 + (\ell + r \cos\theta)^2 \right) - V \left( \ell + r \cos \theta \right) \right] \, V \, r \, dr \, d\theta = \\ & = \rho \left[ \Omega \left( h^2 + \ell^2 \right) - V \ell \right] \, V \, 2 \pi \dfrac{R_1^2}{2} + \Omega \, V \, \dfrac{R_1^4}{4}\, \pi = \\ & = \pi R_1^2 \rho \, V \left[ \Omega \left( h^2 + \ell^2 + \dfrac{R_1^2}{4} \right) - V \ell \right] \ . \end{aligned}\end{split}\]

A regime, la componente \(z\) della risultante dei momenti deve essere nulla e la velocità angolare deve essere uguale a

\[\Omega = \dfrac{\ell}{h^2 + \ell^2 + \dfrac{R_1^2}{4}} V \qquad \rightarrow \qquad \Omega = \dfrac{1}{2}\dfrac{\ell}{h^2 + \ell^2 + \dfrac{R_1^2}{4}} \left( \dfrac{R_0}{R_1} \right)^2 \, U_0 \ .\]
1

Dovrebbe essere chiaro che il concetto di «stazionarietà» dipende dal tipo di descrizione adottata per rappresentare il problema, euleriana, lagrangiana o arbitraria. Come esempio, in questo esercizio utilizziamo una descrizione arbitraria, utilizzando un volume di controllo che ruota insieme all’irrigatore. Per un osservatore inerziale il problema a regime non è stazionario, ma periodico. Per un’osservatore non inerziale solidale con l’irrigatore, le quantità del problema non variano con il tempo e quindi a lui il problema a regime risulta stazionario;