3.5.1. Exercise 3.1#
Sia dato il campo di moto
Calcolare l’equazione delle linee di corrente, delle traiettorie e delle linee di fumo (curve di emissione) e disegnarle. Infine si determino le tracce generate al tempo \(t_0 = 0\) dal segmento che unisce l’origine con il punto \((x_1,y_1)=(0,1)\).
Concetti. Definizione di linee di corrente, traiettorie, linee di fumo, tracce. Soluzione di sistemi di equazioni differenziali ordinarie (problemi di Cauchy, ai valori iniziali).
Svolgimento. Partendo dalle definizioni, si ricavano le equazioni delle curve caratteristiche. Il problema per le traiettorie, le linee di fumo e le tracce viene risolto una volta sola per ottenere il risultato in forma parametrica in funzione di \(t\), \(t_0\), \(\bm{R_0}(p) = (x_0(p), y_0(p))\).
Linee di corrente. L’equazione vettoriale che definisce una linea di corrente \(\bm{S}(p) = X(p) \bm{\hat{x}} + Y(p) \bm{\hat{y}}\) viene scritta per componenti, $$\begin{cases} \dfrac{dX}{dp}(p) = \lambda(p) 3 \ \dfrac{dY}{dp}(p) = \lambda(p) 3t \ . \ \end{cases}
ricavando dalla prima \(\lambda(p)\) in funzione di \(dX/dp\), sostituendolo nella seconda, e integrando tra \(p_0\) e \(p\), con \(t\) fissato $\(\int_{p_0}^{p}\dfrac{d Y}{dp}(p') dp' = \int_{p_0}^{p}\dfrac{d X}{dp}(p') \ t \ dp' \quad \rightarrow \quad Y(p) - Y(p_0) = ( X(p) - X(p_0) ) \ t \ .\)\( Dopo aver fissato una linea di corrente, imponendo il suo passaggio per un punto, \)(X(p_0), Y(p_0)) = (x_0, y_0)\(, si ottiene la sua equazione in *forma cartesiana* \)\(y = y_0 + ( x - x_0 ) t \ .\)\( In questo problema, le linee di corrente costituiscono una famiglia di rette parallele nel piano \)x\(-\)y\(, a ogni istante temporale, il cui coefficiente angolare, \)t$, aumenta con il tempo.
Traiettorie. Le equazioni di traiettorie, linee di fumo e tracce vengono ricavate in forma parametrica risolvendo il problema ai valori iniziali che le definisce. In un secondo momento viene ricavata la loro equazione in forma cartesiana, esplicitando il parametro in funzione di una delle due coordinate spaziali, esplicitando il parametro in funzione di una delle due coordinate spaziali. Per le traiettorie, parametrizzate con \(t\), si ottiene $\(\label{eqn:ese:par} \begin{cases} \dfrac{dx}{dt}(t) = 3 \\ \dfrac{dy}{dt}(t) = 3t \\ x(t_0) = x_0 , \quad y(t_0) = y_0 \end{cases} \quad \rightarrow \quad \begin{cases} x(t;\bm{R}_0,t_0) = x_0 + 3(t-t_0) \\ y(t;\bm{R}_0,t_0) = y_0 +\frac{3}{2} (t^2 -t_0^2) \ . \\ \end{cases}\)\( Esplicitando \)t\( in funzione di \)x\(, \)\(t = t_0 + \dfrac{x-x_0}{3} \ ,\)\( e sostituendo nella coordinata \)y\( si ottiene l'equazione in forma cartesiana, \)\(\label{eqn:ese:trai} y(x;\bm{R_0},t_0) = \dfrac{1}{6}x^2 + \left[ -\dfrac{1}{3}x_0 +t_0 \right] x + y_0 + \dfrac{1}{6}x_0^2 - x_0 t_0 \ ,\)\( all'interno della quale \)\bm{R}_0 = (x_0,y_0)\( e \)t_0$ compaiono ancora come parametri. Dalla ([eqn:ese:trai]{reference-type=»ref» reference=»eqn:ese:trai»}), le traiettorie sono parabole con la concavità rivolta verso l’alto.
Linee di fumo (curve di emissione). La forma parametrica dell’equazione delle linee di fumo (funzioni di \(t_0)\) è $\(\begin{cases} x(t_0;t,\bm{R}_0) = x_0 + 3(t-t_0) \\ y(t_0;t,\bm{R}_0) = y_0 +\frac{3}{2} (t^2 -t_0^2) \ . \\ \end{cases}\)$
Esplicitando \(t_0\) in funzione di \(x\), $\(t_0 = t - \dfrac{x-x_0}{3} \ ,\)\( e sostituendo nella coordinata \)y\( si ottiene l'equazione in forma cartesiana, \)\(\label{eqn:ese:trai} y(x;\bm{R_0},t) = -\dfrac{1}{6}x^2 + \left[ \dfrac{1}{3}x_0 +t \right] x + y_0 - \dfrac{1}{6}x_0^2 + x_0 t_0 \ ,\)\( all'interno della quale \)\bm{R}_0 = (x_0,y_0)\( e \)t$ compaiono ancora come parametri. Dalla ([eqn:ese:trai]{reference-type=»ref» reference=»eqn:ese:trai»}), le linee di fumo sono parabole con la concavità rivolta verso il basso.
Tracce. La forma parametrica dell’equazione delle tracce è $\(\begin{cases} x(\bm{R}_0;t,t_0) = x_0 + 3(t-t_0) \\ y(\bm{R}_0;t,t_0) = y_0 +\frac{3}{2} (t^2 -t_0^2) \ . \\ \end{cases}\)$
Il segmento che unisce l’origine al punto \((x_1,y_1)=(0,1)\) è descritto in forma paramterica come $\(\bm{R_0}(p) = \begin{cases} x_0(p) = 0 \\ y_0(p) = p \\ \end{cases} , \quad p \in [0,1] \ .\)\( La forma parametrica delle tracce (\)p\( è il parametro che descrive la curva, mentre \)t\(, \)t_0\( sono parametri fissi) è quindi \)\(\bm{R}(\bm{R_0}(p),t,t_0) = \begin{cases} x(p;t,t_0) = 3(t-t_0) \\ y(p;t,t_0) = p +\frac{3}{2} (t^2 -t_0^2) \\ \end{cases} , \quad p \in [0,1] \ .\)\( Queste sono segmenti verticali di lunghezza uguale a 1, con il punto più basso di coordinate \)\left(3(t-t_0),\frac{3}{2}(t^2-t_0^2)\right)$.