5.5.4. Exercise 5.4

Exercise 5.4

Dato il condotto a sezione circolare rappresentato in figura, determinare la portata in massa d’olio, \(\overline{\rho} = 850\ kg/m^3\), attraverso il condotto stesso sapendo che il diametro del condotto è \(d=0.5\ m\), che la differenza di altezza fra i peli liberi è \(H=40\ cm\), che il diametro del tubo «a U”» è di \(2\) mm. Si trascuri qualunque effetto dissipativo, si assuma uniforme la velocità in una sezione sufficientemente lontana a monte e si consideri che nel tubo «a U» sia presente aria in condizioni normali.

(\(\overline{Q}= 467.2\ kg/s\))

Teorema di Bernoulli nell’ipotesi di stazionarietà, fluido incomprimibile, non viscoso, irrotazionale. Equazione della vorticità nel caso non viscoso. Legge di Stevino.

Vengono fatte alcune ipotesi semplificative (\(\rho = \bar{\rho}\), \(\mu=0\), \(\frac{\partial}{\partial t}=0\)); si utilizza poi l’equazione della vorticità per semplificare ulteriormente il problema: se si assume che il profilo di velocità all’ingresso sia uniforme, e quindi a vorticità nulla, il fluido nel canale rimane irrotazionale (dall’equazione della vorticità per fluidi non viscosi).

Gli unici due punti che possono creare problemi sono i collegamenti del tubo con il canale. Sulla linea di corrente che incontra l’imbocco del tubicino, il fluido subisce un rallentamento dalla velocità di ingresso fino ad arrestarsi: su questa linea di corrente è possibile applicare il teorema di Bernoulli. In corrispondenza del’altro collegamento, si incontra una superficie di discontinuità a vorticità infinita: non è quindi possibile attraversare questa superficie applicando direttamente il teorema di Bernoulli, ma bisogna ricorrere alle condizioni di interfaccia tra i due domini, quello interno al canale e quello interno al tubo, nel quale possono essere applicate le equazioni della statica.

Vengono definiti i punti \(A\) all’ingresso sulla linea di corrente che arriva alla presa del tubo all’interno del canale; il punto \(B\) coincidente con la presa del tubo all’interno del canale; \(C\) il pelo libero di destra all’interno del tubo «a U», \(D\) il pelo libero di sinistra. Si definiscono anche \(h_C\) e \(h_D\) come quote dei peli liberi (oss. \(H = h_C - h_D\)).

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Il sistema risolvente è:

\[\begin{split}\begin{cases} P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho g h_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho g h_B\\ P_B + \rho g h_B = P_C + \rho g h_C \\ P_C + \rho_a g h_C = P_D + \rho_a g h_D\\ P_D + \rho g h_D = P_{E_2} + \rho g h_{E_2} \\ P_{E_2} = P_{E_1} \\ P_{E_1} + \frac{1}{2} \rho u_{E_1}^2 + \rho g h_{E_1} = P_F + \frac{1}{2} \rho u_F^2 + \rho g h_F\\ P_F + \frac{1}{2} \rho v_F^2 + \rho g h_F = P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho g h_A \\ \bar{Q} = \rho \frac{\pi}{4}d^2 U \end{cases}\end{split}\]

Osservando che \(h_A = h_B\), \(h_E = h_F\), \(v_A = v_F = U\), \(v_B = 0\), supponendo \(u_E = U\) (ipotizzando dimensioni e intrusività trascurabile della sonda), il sistema semplificato diventa:

\[\begin{split}\begin{cases} P_A + \frac{1}{2} \rho U^2 = P_B \\ P_B + \rho g h_A = P_C + \rho g h_C \\ P_C + \rho_a g h_C = P_D + \rho_a g h_D\\ P_D + \rho g h_D = P_E + \rho g h_E \\ P_E + \frac{1}{2} \rho u_E^2 = P_F + \frac{1}{2} \rho U^2 \\ P_F + \rho g h_E = P_A + \rho g h_A \\ \bar{Q} = \rho \frac{\pi}{4}d^2 U \end{cases}\end{split}\]

Risolvendo per U, avendo definito \(H = h_C - h_D\):

\[\frac{1}{2} \rho U^2 = P_B - P_A = ... = (\rho - \rho_a) g H \quad \Rightarrow \quad U = \sqrt{2\displaystyle\left(1-\frac{\rho_a}{\rho}\right) g H}\]

Inserendo i valori numerici: \(U = 2.799 m/s\), \(\bar{Q} = 467.15 kg/s\).