5.5.7. Exercise 5.7#

Exercise 5.7

Un getto di acqua (\(\rho = 1000 \ kg/m^3\)) colpisce una lamina di massa per unità di apertura \(m = 1 \ kg/m\) inclinata di un angolo \(\alpha = 30^\circ\) rispetto all’orizzontale, connessa a terra con una molla di costante elastica \(k = 10^5 \ N/m^2\). Il getto esce con profilo uniforme \(U=10 \ m/s\) da una fessura larga \(d_1 = 5 \ cm\) Determinare:

  • la velocità \(U_2\) (uniforme) e lo spessore \(d_2\) del getto alla quota \(H=1 \ m\) sopra la fessura di uscita, supponendo trascurabili ogni forma di dissipazione e la curvatura delle linee di corrente;

  • la velocità massima \(V\) del profilo triangolare di spessore \(h = 2 \ cm\), identico su entrambe le estremità della lamina;

  • la deformazione della molla, considerando trascurabili gli sforzi viscosi all’interfaccia tra il getto e l’atmosfera circostante (\(P_a = 101325 \ Pa\)) e la gravità agente sul fluido al di sopra della quota \(H\).

Teorema di Bernoulli nell’ipotesi di stazionarietà, fluido incomprimibile, non viscoso, irrotazionale. Bilanci integrali.

  • continuità + Bernoulli

\[\begin{split}\begin{cases} \rho d U = \rho d_2 U_2 \\ \frac{1}{2} \rho U^2 = \frac{1}{2} \rho U_2^2 + \rho g H \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} d_2 = d_1 \left( 1 - \dfrac{2 g H}{U^2} \right)^{-1/2} = 0.0558 \ m \\ U_2 = U \left( 1 - \dfrac{2 g H}{U^2} \right)^{1/2} = 8.96 \ m/s \\ \end{cases}\end{split}\]

  • continuità: in ingresso profilo uniforme, in uscita due profili triangolari.

    \[U d_1 = 2 \dfrac{1}{2} V h \Rightarrow V = U \dfrac{d_1}{h} = 25 \ m/s\]

  • bilancio di massa + equilibrio corpo: pressione \(P_a\) ovunque; i due flussi di quantità di moto sulla lamina si bilanciano: rimane solo il termine in ingresso

    \[\mathbf{R}_{fl} = - \oint_{\partial \Omega} \rho \mathbf{u} \mathbf{u} \cdot \mathbf{\hat{n}} = \dots = \rho U^2 \dfrac{d_1^2}{d_2} \mathbf{\hat{y}} = 4482.7 \ N \mathbf{\hat{y}}\]
    \[k \Delta x = m g - R \Rightarrow \Delta x = - 0.0447 \ m \ \text{(compressione)}\]