7.14.2. Exercise 7.2#
Un missile vola alla quota di \(7000\ m\), dove la densit`{a} dell’aria `{e} \(\rho = 0.59\ kg/m^3\) e la sua temperatura `e \(T=-30.45^\circ C\), alla velocit`{a} costante \(V_v=505\ km/h\).
Determinare: \begin{itemize} \item il fattore di scala geometrico \(\lambda=L_m/L_v\), \item la velocit`{a} dell’aria \(V_m\), \end{itemize} necessari per riprodurre correttamente i coefficienti aerodinamici del missile in una galleria del vento che operi a condizioni atmosferiche standard (\(\rho=1.225\ kg/m^3\), \(p=101325\ Pa\), \(T=15^\circ C\)).
(\(V_m =152.8\ m/s\), \(\lambda=0.507\))
Similitudine fluidodinamica: numeri di Reynolds e di Mach.
Formula di Sutherland per la viscosità dinamica dei gas,
Assumendo che l’aria si comporti come gas ideale, per il quale vale l’equazione di stato \(p = \rho R T\), la velocità del suono vale \(c = \sqrt{\gamma R T}\), dove \(\gamma = c_p / c_v\) è il rapporto dei calori specifici a pressione e volume costante, che vale \(\gamma = 1.4\) per un gas biatomico. La costante del gas \(R\) è definita come il rapporto tra la costante universale dei gas \(\mathscr{R}\) e la massa molare \(M_m\), \(R = \mathscr{R}/M_m\). La massa molare dell’aria secca vale \(M_m = 28.96 \ kg / kmol\) e la sua costante \(R\) vale
La velocità del suono nell’aria alle condizioni termodinamiche del problema vale \(c = 312.3 \ m/s\). Il numero di Mach caratteristico della corrente è quindi \(M=0.45\) e gli effetti di comprimibilità non possono essere trascurati, poichè il numero di Mach è maggiore della valore convenzionale \(0.3\) che identifica il limite della validità dell’approssimazione di fluido incomprimibile. Per ottenere la similitudine tra problema reale e quello modellato (di dimensioni ridotte) è necessaria la similitudine geometrica e l’uguaglianza dei numeri adimensionali che caratterizzano il problema, il numero di Reynolds \(Re\) e il numero di Mach \(M\).
Utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti,
Risolvendo il sistema, si ottiene l’espressione delle incognite
Per trovare i valori ancora incogniti della viscosità dinamica si usa la formula di Sutherland: per l’aria i coefficienti sono \(T_0 = 288 K\), \(C = 110.4 K\). Si ottengono i valori numerici \(V_m = 152.8 m/s\), \(\lambda = 0.507\).
Osservazioni. Non è sempre possibile imporre l’uguaglianza di \(Re\) e \(M\). Si pensi ad esempio a un’applicazione in aria in condizioni standard e prove sul modello in galleria ad aria in condizioni standard. Per ottenere l’uguaglianza dei numeri di Mach, bisogna avere la stessa velocità caratteristica (poichè la celerità del suono è la stessa tra condizione reale e modello). Avendo uguagliato le velocità caratteristiche ed essendo uguali le variabili termodinamiche \(\rho\) e \(\mu\), si ottiene l’uguaglianza della dimensione caratteristica del modello. Questo significa che sarebbe necessario avere un modello in scala 1:1 per soddisfare la similitudine utilizzando nella prova sperimentale lo stesso fluido nelle stesse condizioni termodinamiche delle condizioni «al vero». Per limiti tecnologici e di costi, dovuti alle dimensioni degli apparati sperimentali, spesso è necessario utilizzare un modello in scala dell’originale. Esistono gallerie controllate in pressione per variare lo stato termodinamico dell’aria di prova e gallerie che utilizzando acqua come fluido di prova: entrambe queste scelte comportano complicazioni nel progetto e nell’utilizzo dell’impianto, traducibile spesso in costi elevati. Allora per quale numero adimensionale o secondo quale combinazione dei numeri adimensionali conviene ottenere la similitudine? «Arte», esperienza e alcuni «espedienti» sperimentali, che non sono oggetto di questo corso hanno lo scopo di ottenere risultati rappresentativi del problema al vero, anche se la perfetta similitudine non è soddisfatta.