5.5.2. Exercise 5.2

Exercise 5.2

Si consideri il serbatoio rappresentato in figura, \(D=2\ m\), \(H=4.4\ m\) al cui interno è contenuta acqua, \(\overline{\rho}=999\,{kg/m^3}\). Supponendo il fluido non viscoso, determinare la velocit`{a} di efflusso del fluido dall’ugello del serbatoio, \(h=0.4\ m\) e \(d = 1\ cm\), e la sua portata, sia in massa sia in volume.

(\(U = 8.86\ m/s\), \(Q=6.96\, 10^{-4}\ m^3/s\), \(\overline{Q}=0.695\ kg/s\))

Teorema di Bernoulli, nel caso incomprimibile, non viscoso, «stazionario» (da come è fatto il disegno, il livello del serbatorio sembra diminuire…assumiamo che così non sia), con forze che ammettono potenziale e dominio semplicemente connesso. Se si fa l’ipotesi che il flusso sia irrotazionale sulla sezione di ingresso, nel caso non viscoso, si mantiene irrotazionale ovunque (equazione della vorticità).

\[\frac{D \mathbf{\omega}}{Dt} = (\mathbf{\omega} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{u}\]

Si può quindi scrivere il teorema di Bernoulli nella forma:

\[\frac{P}{\rho} + \frac{|\mathbf{u}|^2}{2} + gh = \text{cost}\]

Il problema si risolve mettendo a sistema il teorema di Bernoulli (opportunamente semplificato; vedi sopra) con il bilancio integrale di massa. Si ipotizza che sulle due sezioni agisca la stessa pressione esterna.

\[\begin{split}\begin{cases} A_1 u_1 = A_2 u_2 & (massa) \\ \frac{u_1^2}{2} + g h_1 = \frac{u_2^2}{2} + g h_2 & (Bernoulli) \end{cases}\end{split}\]

Svolgendo i passaggi, ricordando che le superfici sono circolari, risulta:

\[u_2 = \sqrt{\frac{2 g (h_1-h_2)}{1-\displaystyle\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^4}}\]

Si calcolano poi le portate volumetriche e di massa.

\[\begin{split}\begin{aligned} & Q = A_2 u_2 \\ & \dot{m} = \rho Q \end{aligned}\end{split}\]