4.20.6. Exercise 4.6#

Exercise 4.6

Un condotto di sezione circolare avente diametro \(D = 5\ cm\) forma un gomito con angolo di \(90^\circ\). Nel condotto scorre acqua (\(\rho = 999\ kg/m^3\)) in regime stazionario con velocità \(V = 0.5\ rm m/s\). All’esterno del condotto vi è atmosfera con pressione uniforme \(P_{atm}=101325\ Pa\); inoltre le pressioni all’ingresso e all’uscita del gomito sono uniformi sulla sezione ed entrambe pari a \(P=10^6\ Pa\). Calcolare la forza \(\mathbf{F}\) agente sul gomito.

(\(\mathbf{F} = -1765.03\hat{\mathbf{x}} + 1765.03\hat{\mathbf{y}}\ N\))

Concetti. Bilanci integrali di massa e quantità di moto. …

\[\begin{split}\begin{cases} \frac{d}{dt} \int_V \rho = -\oint_{\partial V} \rho \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} & \text{(massa)} \\ \frac{d}{dt} \int_V \rho \mathbf{u} = -\oint_{\partial V} \rho \mathbf{u} \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} +\int_V \mathbf{F} - \oint_{\partial V} p \hat{\mathbf{n}} + \oint_{\partial V} {\mathbf{s_n}} & \text{(quantità di moto)} \end{cases}\end{split}\]

Svolgimento. Vengono fatte alcune ipotesi: regime stazionario, fluido incomprimibile, fluido non viscoso, profili costanti di velocità, no gravità. Si scrivono i bilanci integrali semplificati, si riconoscono in essi e si calcolano le azioni scambiate con il corpo.

  • Scrittura dei bilanci integrali opportunamente semplificati (ipotesi).

    \[\begin{split}\begin{cases} \oint_{\partial V} \rho \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 & \text{(massa)} \\ \oint_{\partial V} \rho \mathbf{u} \mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}} = \oint_{\partial V} \mathbf{t_n} & \text{(quantità di moto)} \end{cases}\end{split}\]

  • Ulteriore semplificazione usando l’ipotesi di densità costante e profili di velocità uniformi

    \[\begin{split}\begin{cases} -V_1 A_1 + V_2 A_2 = 0 \qquad \qquad \qquad \Rightarrow V_1 = V_2 = V \\ - \rho \vec{V_1} V_1 A_1 + \rho \vec{V_2} V_2 A_2 = \oint_{\partial V} \mathbf{t_n} \end{cases}\end{split}\]

  • Relazione tra l’integrale degli sforzi sulla superficie e la risultante delle forze agenti sul gomito, sfruttando il fatto che l’integrale della normale su tutta la superficie è identicamente nullo. Si identificano con \(S_1\) la superficie di ingresso, \(S_2\) la superficie di uscita, \(S_3\) la superficie laterale.

    \[\begin{split}\begin{aligned} \displaystyle\oint_{S_1\cup S_2\cup S_3} \mathbf{t_n} & = \displaystyle\oint_{S_1\cup S_2\cup S_3} \mathbf{t_n} + \underbrace{\displaystyle\oint_{S_1\cup S_2\cup S_3} p_a \hat{n}}_{=0} = \\ & = -\oint_{S_1} (p-p_a) \hat{n} - \oint_{S_2} (p-p_a) \hat{n} + \underbrace{\oint_{S_3} (\mathbf{t_n}+p_a \hat{n})}_{=-\mathbf{F}} = \\ & = -\oint_{S_1} (p-p_a) \hat{n} - \oint_{S_2} (p-p_a) \hat{n} - \mathbf{F} \end{aligned}\end{split}\]

  • Proiezione lungo i due assi del sistema di riferimento della risultante delle forze agenti sul gomito (dopo averla inserita nell’equazione di bilancio della quantità di moto)

    \[\begin{split}\begin{cases} F_x = - \rho V^2 A - (p_2 - p_a)A \\ F_y = \rho V^2 A + (p_1 - p_a)A \end{cases}\end{split}\]