8. Incompressible Aerodynamics#

todo Update the introduction

In many situations in aeronautics, the flow of interest can be modelled as irrotational in the whole domain, except for very thin regions where vorticity and viscous effects are lumped. This is the case of high-\(\text{Re}\) flows, with uniform free-stream velocity (so that incoming vorticity is zero), around streamlined bodies with small angles between their «longitudinal» direction and the free-stream velocity: if all these conditions are met, it’s likely no large separation and recirculation regions occur and the vorticity and viscosity effects are only relevant in the thin boundary layer at the solid surface of the body and in thin wakes shed downstream1.

Under these circumstances, the governing equations can be recast as Poisson problems for the kinetic potential \(\phi(\mathbf{r})\), or for the vector potential \(\boldsymbol\psi(\mathbf{r})\). Being the problem linear - for a wake with given shape - principle of superposition of causes and effects holds: the solution of the problem can be written as the linear combination of - usually simpler - solutions of the problem. This strategy naturally arises solving the Poisson problem with Green’s function method, that produces a boundary problem and whose solution is the superposition of distributions of sources, doublets, and vortices. These solutions are simple, but singular, requiring the need of some caution and some introduction and discussion of their properties, before using them into problems in aerodynamics.

Poisson problems for \(\phi(\mathbf{r})\), and \(\boldsymbol\psi(\mathbf{r})\) are somehow dual, if jumps in these potential fields are allowed. The problem can be approached without the need for jumps in potentials, by exploiting Helmholtz’s decomposition of the velocity field \(\mathbf{u} = \nabla \phi + \nabla \times \boldsymbol\psi\) and solving two Poisson equations supplemented with proper boundary conditions and regularity conditions.

Theorems. Kelvin’s theorem and Helmholtz’s theorems.

Singularities. Introduction of source, doublet and vortex sngularities as solution of Poisson eqautions, and discussion of their properties.

Steady aerodynamics.

Unsteady aerodynamics.

  • Deal with equations, wakes and shape and connection of the domain

  • 2-dimensional vs. 3-dimensional flows

  • Thin airfoil and wing theory

Old introduction

Per correnti irrotazionali (\(\omega = \mathbf{0}\)) in un dominio semplicemente connesso (\(\mathbf{u} = \mathbf{\nabla} \phi\)) di fluidi incomprimibili (\(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0\)), il potenziale cinetico soddisfa l’equazione di Laplace \(\Delta \phi = 0\). Infatti, inserendo nel vincolo di incomprimibilità la relazione che lega il potenziale cinetico alla velocità si ottiene

\[0 = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{\nabla} \cdot (\mathbf{\nabla} \phi) = \nabla^2 \phi = \Delta \phi .\]

Come nel caso della seconda e della terza forma del teorema di Bernoulli per fluidi viscosi, vedi introduzione al capitolo §[ch:bernoulli]{reference-type=»ref» reference=»ch:bernoulli»}, l’ipotesi di fluido non viscoso non è direttamente necessaria per ottenere l’equazione di Laplace per il potenziale. L’ipotesi di fluido non viscoso rientra però nel requisito che la corrente sia irrotazionale. L’equazione della vorticità per fluido incomprimibile è

\[\frac{\partial \mathbf{\omega}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{\omega} = (\mathbf{\omega} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{u} + \nu \Delta \mathbf{\omega} ,\]

che per un fluido non viscoso, si riduce a

\[\frac{\partial \mathbf{\omega}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{\omega} = (\mathbf{\omega} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{u} \qquad , \qquad \dfrac{D \mathbf{\omega}}{D t} = (\mathbf{\omega} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{u} ,\]

dove è stata messa in evidenza la derivata materiale della vorticità, che rappresenta la variazione della vorticità di una particella fluida, che si muove con la velocità del fluido. Se si considera un problema in cui un corpo aerodinamico è investito da una corrente che è uniforme all’infinito a monte, la vorticità all’infinito a monte è nulla: si può dimostrare facilmente allora che \(D\mathbf{\omega} / D t = \mathbf{0}\), e quindi la vorticità si mantiene costante e nulla, sulle linee di corrente che partono dall’infinito a monte2. Per correnti ad alto numero di Reynolds attorno a corpi affusolati, nelle quali non si verificano separazioni, gli effetti viscosi e la vorticità sono confinati in strati limite «sottili» attorno ai corpi solidi e in scie «sottili» che si staccano da essi.

É quindi possibile descrivere una corrente di un fluido incomprimibile ad alto numero di Reynolds, all”esterno di queste sottili regioni vorticose, con un modello di fluido non viscoso. Partendo dalle equazioni di Navier–Stokes che governano la dinamica di un fluido viscoso, per le quali vale la condizione al contorno di adesione a parete (\(\mathbf{u} = \mathbf{b}\)), si arriva a un modello che permette di calcolare il campo di velocità dal potenziale cinetico, che soddisfa l’equazione di Laplace \(\Delta \phi = 0\) nel dominio e la condizione al contorno di non penetrazione (\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{\hat{n}} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{\hat{n}}\)) in corrispondenza delle pareti solide, e in seguito di calcolare la pressione utilizzando il teorema di Bernoulli.

\[\begin{split}\begin{cases} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{u} - \nu \Delta \mathbf{u} + \mathbf{\nabla}P = \mathbf{g} \\ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0 \\ \mathbf{u}\big|_{wall} = \mathbf{b} \qquad + \textit{altre b.c} \end{cases} \xrightarrow[{\small \begin{aligned} \nu = 0 , & \ \omega = \mathbf{0} \\ \mathbf{u} & = \mathbf{\nabla}\phi \end{aligned} }]{} \begin{cases} \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{|\mathbf{\nabla}\phi|^2}{2} + P + \chi = C(t) \\ \Delta \phi = 0 \\ \frac{\partial phi}{\partial n} = \mathbf{u}\cdot\mathbf{\hat{n}} \big|_{wall} = \mathbf{b}\cdot\mathbf{\hat{n}} \qquad + \textit{altre b.c} \\ \end{cases}\end{split}\]

Il problema di Laplace è lineare ed è quindi valido il principio di sovrapposizione di cause ed effetti, se la geometria del dominio è fissata. Questa considerazione può sembrare strana, ma è determinata dalla possibile presenza di scie che si distaccano dai corpi solidi e che possono evolvere (per problemi non stazionari) all’interno del dominio. L’equazione di Lapalce può rappresentare anche problemi non stazionari, nonostante non compaia esplicitamente nessuna derivata temporale nell’equazione. La dipendenza temporale può comparire all’interno delle condizioni al contorno e la soluzione si adatta immediatamente ad esse. Memoria della soluzione agli istanti di tempo precendenti è contenuta all’interno delle scie, la cui vorticità è legata al valore di circolazione attorno al corpo (e quindi di portanza) e la cui dinamica è determinata dalle equazioni di governo della vorticità.

1

As an example, the relation between thickness of boundary layer flows and Reynolds number in this book is shown with Prandtl equations for the laminar boundary layer, \(\delta(x) \sim x \text{Re}_x^{-\frac{1}{2}}\), todo add examples with turbulent flows.

2

É immediato convincersi del fatto, utilizzando la descrizione lagrangiana eqn:bilanci:vorticitàLagrange della vorticità per un fluido non viscoso.