Definizione di variabile casuale

Contenuti

17.1.1. Definizione di variabile casuale#

Qualitativamente, una variabile casuale è una grandezza che può assumere valori diversi come risultato di un fenomeno aleatorio, un fenomeno che non è possibile descrivere accuratamente con delle equazioni deterministiche. todo fare esempi: lancio del dado e estrema dipendenza dalle condizioni iniziali, soprattutto con urto; aggiungere simulazione, già presente sul drive

Una definizione più rigorosa prevede i concetti di spazio di probabilità e -algebra. Senza pretendere di fornire una descrizione dettagliata e rigorosa di questi oggetti matematici, non si vuole rinunciare a dare la definizione rigorosa di variabile casuale, fornendo un’interpretazione degli oggetti matematici coinvolti.

17.1.1.1. Definizione#

Dato uno spazio di probabilità $(Ω, F, ν)$ e uno spazio misurabile $(E, E)$ , una variabile aleatoria è una funzione misurabile $X : Ω \to E$ .

Ora, cerchiamo di interpretare questa definizione criptica. Iniziamo dalle cose semplici:

$Ω$ ed $E$ sono due insiemi: $Ω$ viene definito *insieme degli eventi o spazio campionario, $E$ è l’insieme dei valori che può assumere la variabile casuale.

Se l’insieme $E$ dei possibili valori della variabile casuale è un insieme di elementi discreti, si definisce la variabile casuale discreta. Se l’insieme $E$ è invece un insieme di valori continui, come ad esempio un intervallo $I \subset R$ , la variabile viene definita continua. Le variabili casuali possono essere numeriche o categoriali: le variabili casuali numeriche hanno valori numerici, quelle categoriali possono essere identificate da etichette: ad esempio, una variabile $X$ che rappresenta il mezzo preferito di locomozione con valori nell’insieme ${piedi, bici, treno, auto, altro}$ è una variabile categoriale. Le variabili categoriali possono essere o non essere ordinabili; se non sono numeriche, non è possibile compiere operazioni numeriche su di esse.

Continuiamo con gli altri oggetti meno immediati:

lo spazio di probabilità $(Ω, F, ν)$ può essere pensato come formato da due parti, lo spazio misurabile $(Ω, F)$ e la misura di probabilità $ν$ ;
nella definizione ora sono conivolti due spazi misurabili, $(Ω, F)$ , $(E, E)$ , che a loro volta sono composti da due oggetti:
- un insieme di elementi;
- una $σ$ -algebra: per quanto interessa a noi, una $σ$ -algebra applicata agli elementi di un insieme offre la possibiltà di applicare le operazioni degli insiemi (unione, intersezione,…) agli elementi dell’insieme
la misura di probabilità $ν$ è una funzione compatibile con gli spazi misurabili coinvolti nella definizione, che traduce in matematica i concetti della probabilità come, ad esempio:
- $P (ω \in Ω) = 1$ ,
- $P (ω \in A \lor ω \in B) \leq P (ω \in A) + P (ω \in B)$ , e l’uguaglianza vale se $A$ , $B$ disgiunti
- …

Spieghiamoci peggio con due esempi.

todo. L’evento è sempre osservabile? O si può osservare solo il valore assunto dalla variabile casuale?

17.1.1.1.1. Esempio 1. Lancio dado non truccato, con variabile casuale corrispondente al valore della faccia#

Viene lanciato un dato a 6 facce non truccato. Questo corrisponde a un insieme degli eventi costituito da i 6 eventi distinti $Ω = {faccia 1, \dots, faccia 6}$ , e ognuno di questi 6 eventi ha una misura di probabilità uguale a $ν (faccia 1) = \dots = ν (faccia 6) = \frac{1}{6}$ . Si sceglie come variabile casuale la funzione che associa al numero letto sulla faccia lo stesso numero, $X : Ω \to E$ , $X (faccia n) = n$ . Si vogliono ora analizzare le probabilità associate ai seguenti eventi:

$Ω_{1}$ : eventi che portano a risultato 3:

$P (X (ω \in Ω_{1}) = 3) = P (ω \in Ω_{1}) = ν (faccia 3) = \frac{1}{6}$
$Ω_{2}$ : eventi che portano a risultato pari,

$\begin{array}{r} \begin{aligned} P (ω \in Ω_{2}) & = P (X (ω \in Ω_{2}) = 2 \lor X (ω \in Ω_{2}) = 4 \lor X (ω \in Ω_{2}) = 6) = \\ = ν (faccia 2) + ν (faccia 4) + ν (faccia 6) = \frac{1}{2} \end{aligned} \end{array}$
$Ω_{3}$ : eventi che portano a risultato dispari
$Ω_{4}$ : eventi che portano a risultato inferiore a 4
$Ω_{5}$ : eventi che portano a un risultato compreso tra 1 e 6 inclusi
$Ω_{6}$ : eventi che verificano gli eventi $Ω_{2}$ o gli eventi $Ω_{4}$
$Ω_{7}$ : eventi che verificano gli eventi $Ω_{2}$ e gli eventi $Ω_{4}$

17.1.1.1.2. Esempio 2. Lancio dado non truccato, con variabile casuale diverso dal valore della faccia#

Si studino ora i casi in cui la variabile casuale associa all’evento:

il valore della faccia diviso 2 e aumentato di 1
il massimo divisore diverso del numero sulla faccia, diverso dal numero stesso