17.1.1. Definizione di variabile casuale#
Qualitativamente, una variabile casuale è una grandezza che può assumere valori diversi come risultato di un fenomeno aleatorio, un fenomeno che non è possibile descrivere accuratamente con delle equazioni deterministiche. todo fare esempi: lancio del dado e estrema dipendenza dalle condizioni iniziali, soprattutto con urto; aggiungere simulazione, già presente sul drive
Una definizione più rigorosa prevede i concetti di spazio di probabilità e -algebra. Senza pretendere di fornire una descrizione dettagliata e rigorosa di questi oggetti matematici, non si vuole rinunciare a dare la definizione rigorosa di variabile casuale, fornendo un’interpretazione degli oggetti matematici coinvolti.
17.1.1.1. Definizione#
Dato uno spazio di probabilità \((\Omega, \mathcal{F}, \nu)\) e uno spazio misurabile \((E, \mathcal{E})\), una variabile aleatoria è una funzione misurabile \(X: \Omega \rightarrow E\).
Ora, cerchiamo di interpretare questa definizione criptica. Iniziamo dalle cose semplici:
\(\Omega\) ed \(E\) sono due insiemi: \(\Omega\) viene definito *insieme degli eventi o spazio campionario, \(E\) è l’insieme dei valori che può assumere la variabile casuale.
Se l’insieme \(E\) dei possibili valori della variabile casuale è un insieme di elementi discreti, si definisce la variabile casuale discreta. Se l’insieme \(E\) è invece un insieme di valori continui, come ad esempio un intervallo \(I \subset \mathbb{R}\), la variabile viene definita continua. Le variabili casuali possono essere numeriche o categoriali: le variabili casuali numeriche hanno valori numerici, quelle categoriali possono essere identificate da etichette: ad esempio, una variabile \(X\) che rappresenta il mezzo preferito di locomozione con valori nell’insieme \(\{ \text{piedi}, \text{bici}, \text{treno}, \text{auto}, \text{altro} \}\) è una variabile categoriale. Le variabili categoriali possono essere o non essere ordinabili; se non sono numeriche, non è possibile compiere operazioni numeriche su di esse.
Continuiamo con gli altri oggetti meno immediati:
lo spazio di probabilità \((\Omega, \mathcal{F}, \nu)\) può essere pensato come formato da due parti, lo spazio misurabile \((\Omega, \mathcal{F})\) e la misura di probabilità \(\nu\);
nella definizione ora sono conivolti due spazi misurabili, \((\Omega, \mathcal{F})\), \((E, \mathcal{E})\), che a loro volta sono composti da due oggetti:
un insieme di elementi;
una \(\sigma\)-algebra: per quanto interessa a noi, una \(\sigma\)-algebra applicata agli elementi di un insieme offre la possibiltà di applicare le operazioni degli insiemi (unione, intersezione,…) agli elementi dell’insieme
la misura di probabilità \(\nu\) è una funzione compatibile con gli spazi misurabili coinvolti nella definizione, che traduce in matematica i concetti della probabilità come, ad esempio:
\(P(\omega \in \Omega) = 1\),
\(P(\omega \in A \lor \omega \in B) \le P(\omega \in A) + P(\omega \in B)\), e l’uguaglianza vale se \(A\), \(B\) disgiunti
…
Spieghiamoci peggio con due esempi.
todo. L’evento è sempre osservabile? O si può osservare solo il valore assunto dalla variabile casuale?
17.1.1.1.1. Esempio 1. Lancio dado non truccato, con variabile casuale corrispondente al valore della faccia#
Viene lanciato un dato a 6 facce non truccato. Questo corrisponde a un insieme degli eventi costituito da i 6 eventi distinti \(\Omega = \{ \text{faccia 1}, \dots, \text{faccia 6} \}\), e ognuno di questi 6 eventi ha una misura di probabilità uguale a \(\nu(\text{faccia 1}) = \dots = \nu(\text{faccia 6}) = \frac{1}{6}\). Si sceglie come variabile casuale la funzione che associa al numero letto sulla faccia lo stesso numero, \(X: \Omega \rightarrow E\), \(X(\text{faccia n}) = n\). Si vogliono ora analizzare le probabilità associate ai seguenti eventi:
\(\Omega_1\): eventi che portano a risultato 3:
\[P(X(\omega \in \Omega_1) = 3) = P(\omega \in \Omega_1) = \nu(\text{faccia 3}) = \frac{1}{6}\]\(\Omega_2\): eventi che portano a risultato pari,
\[\begin{split}\begin{aligned} P(\omega \in \Omega_2) & = P\big(X(\omega \in \Omega_2) = 2 \lor X(\omega \in \Omega_2) = 4 \lor X(\omega \in \Omega_2) = 6\big) = \\ & = \nu(\text{faccia 2}) + \nu(\text{faccia 4}) + \nu(\text{faccia 6}) = \frac{1}{2} \end{aligned}\end{split}\]\(\Omega_3\): eventi che portano a risultato dispari
\(\Omega_4\): eventi che portano a risultato inferiore a 4
\(\Omega_5\): eventi che portano a un risultato compreso tra 1 e 6 inclusi
\(\Omega_6\): eventi che verificano gli eventi \(\Omega_2\) o gli eventi \(\Omega_4\)
\(\Omega_7\): eventi che verificano gli eventi \(\Omega_2\) e gli eventi \(\Omega_4\)
17.1.1.1.2. Esempio 2. Lancio dado non truccato, con variabile casuale diverso dal valore della faccia#
Si studino ora i casi in cui la variabile casuale associa all’evento:
il valore della faccia diviso 2 e aumentato di 1
il massimo divisore diverso del numero sulla faccia, diverso dal numero stesso