13.1. Problemi di Cauchy ai valori iniziali#
13.1.1. Approccio a un problema di Cauchy di ordine \(n\)#
Un problema di Cauchy di ordine \(n\)
\[\begin{split}\begin{cases}
F(y^{(n)}(x), y^{(n-1)}(x), \dots, y'(x), y(x), x) = 0 \\
y(x_0) = y^0 \\
y'(x_0) = y'^0 \\
\dots \\
y^{(n-1)}(x_0) = y^{(n-1),0}
\end{cases}\end{split}\]
con funzione incognita \(y(x): D \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), può essere riscritto come un problema di «ordine 1» per la funzione incognita \(\mathbf{z}(x): D \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n\), definita come
\[\mathbf{z}(x) = (z_0(x), z_1(x), \dots z_{n-1}(x)) := (y(x), y'(x), \dots, y^{(n-1)}(x)) \ .\]
Esplicitando le relazioni tra le componenti di \(\mathbf{z}(x)\) e le derivate della funzione \(y(x)\), \(z_{k}(x) = y^{(k)}(x) = {y^{(k-1)}}'(x) = z'_{k-1}(x)\), il problema di Cauchy può essere riformulato come
\[\begin{split}\begin{cases}
z'_0 - z_1 = 0 \\
z'_1 - z_2 = 0 \\
\dots \\
z'_{n-2} - z_{n-1} = 0 \\
F(z'_{n-1}(x), z_{n-1}(x), \dots, z_1(x), z_0(x)) = 0 \ ,
\end{cases}
\qquad , \qquad
\text{i.c.} \quad
\begin{cases}
z_0(x_0) = y^0 \\
z_1(x_0) = y'^0 \\
\dots \\
z_{n-1}(x_0) = y^{(n-1),0}
\end{cases}
\end{split}\]
che può essere riscritto con il formalismo vettoriale come
\[\begin{split}\begin{cases}
\mathbf{F}(\mathbf{z}'(x), \mathbf{z}) = \mathbf{0} \\
\mathbf{z}(x_0) = \mathbf{z}_0
\end{cases}\end{split}\]
13.1.2. Caratteristiche (cenni)#
accuratezza, consistenza, convergenza
stabilità: 0-, A- condizionata e incondizionata